Các bài toán về đường thẳng và mặt cầu
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+(y+1)2+z2=R2. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:
Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ {x2+(y+1)2+z2=R2x=ty=0z=0(*)
(S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép ⇔t2+1=R2 có nghiệm kép ⇔R2−1=0⇔R=1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình x+12=y−21=z+3−1. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
Phương trình mặt cầu (S) có dạng (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=R2
Phương trình tham số của d là: d:{x=−1+2ty=2+tz=−3−t
Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ {(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=R2x=−1+2ty=2+tz=−3−t (*)
(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép
⇔(−2+2t)2+(4+t)2+(−6−t)2=R2 có nghiệm kép
⇔6t2+12t+56−R2=0 có nghiệm kép
⇔Δ′=(−6)2−6.(56−R2)=0⇔6R2−300=0⇔R2=50⇔R=5√2
Suy ra đường kính của mặt cầu (S) là 10√2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng d:x−11=y2=z−21 là:
Phương trình mặt cầu (S) có dạng (x−2)2+y2+(z−1)2=R2
Phương trình tham số của d là: d:{x=1+ty=2tz=2+t
Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ {(x−2)2+y2+(z−1)2=R2x=1+ty=2tz=2+t(∗)
(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép
⇔(t−1)2+(2t)2+(1+t)2=R2 có nghiệm kép
⇔6t2+2=R2 có nghiệm kép ⇔R2=2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình x=y=z. Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với Δ là:
A∈Δ⇒A(t;t;t).
- ThayA(t;t;t) vào x2+y2+z2+x+y+z−6=0 ta có 3t2+3t−6=0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại
- ThayA(t;t;t) vào x2+y2+z2+2x−4y+2z−3=0 ta có 3t2−3=0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại
- ThayA(t;t;t) vào x2+y2+z2−2x+3y+5z+3=0 ta có 3t2+6t+3=0 . Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn
- ThayA(t;t;t) vào x2+y2+z2−7x−2z+6=0 ta có 3t2−9t+6=0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại
Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:
A∈Oz⇒A(0;0;t).
- ThayA(0;0;t) vào x2+y2+z2+4x−8y+2z+2=0 ta có t2+2t+2=0. Phương trình vô nghiệm. Loại
- ThayA(0;0;t) vào x2+y2+z2+2x−4y−2z+2=0 ta có t2−2t+2=0 . Phương trình vô nghiệm. Loại
- ThayA(0;0;t) vào x2+y2+z2+x−2y+z+1=0 ta có t2+t+1=0 . Phương trình vô nghiệm. Loại
- ThayA(0;0;t) vào x2+y2+z2−2x+4y+4z+4=0 ta có t2+4t+4=0. Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=50. Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.
(S) có tâm I(1;−2;3) và R=√50
Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox.
Suy ra M(1;0;0)⇒d(I,Ox)=MI=√22+32=√13≠R⇒, loại B.
Gọi N là hình chiếu của I lên trục Oy.
Suy ra N(0;−2;0)⇒d(I,Oy) = NI = √12+32=√10≠R⇒ loại C
Gọi P là hình chiếu của I lên trục Oz.
Suy ra P(0;0;3)⇒d(I,Oz)=PI=√12+22=√5≠R⇒, loại D
Xét đường thẳng d có phương trình {x=1+ty=2z=3+2t và mặt cầu (S) có phương trình (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=4. Nhận xét nào sau đây đúng.
Giải hệ:
{x=1+ty=2z=3+2t(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=4⇔{x=1+ty=2z=3+2tt2+(2t)2=4⇔{x=1+ty=2z=3+2t5t2=4⇔{t=±√45x=1+ty=2z=3+2t
Suy ra d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
Mặt khác (S) có tâm I(1;2;3)∈d nên d qua tâm của mặt cầu.
Do đó AB đạt GTLN.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9 và đường thẳng d:x−1=y−22=z−43. (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng:
Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được: d:\left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.
Giả sử A là giao điểm của (d) và (P).
Vì A \in d:\left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right. nên ta có:A\left( {t + 1;2 + 2t;4 + 3t} \right)
Mặt khác A \in (S) nên ta có
\begin{array}{l}{\left( {t + 1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 + 2t + 2} \right)^2} + {\left( {4 + 3t - 3} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {4 + 2t} \right)^2} + {\left( {1 + 3t} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow 14{t^2} + 22t + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \dfrac{4}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {0;0;1} \right)\\B\left( {\dfrac{3}{7};\dfrac{6}{7};\dfrac{{16}}{7}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{6}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{16}}{7} - 1} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {126} }}{7}\end{array}
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; - 2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A, B mà AB = 8 là
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên Oy \Rightarrow H(0; - 2;0)
\Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( { - 3;0;0} \right) \Rightarrow IH = 3
Mặt khác ta có: AH = \dfrac{{AB}}{2} = 4
Suy ra {R^2} = A{H^2} + H{I^2} = {4^2} + {3^2} = 25
(S) có tâm I(3; - 2;0) và bán kính R với {R^2} = 25. Suy ra:
(S):{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right. và d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 3 - t'\\z = 0\end{array} \right. . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d' là:
Lấy {\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right) và B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right). Ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)
AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’ khi và chỉ khi
\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {b - 2a} \right) + 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\\1.\left( {b - 2a} \right) - 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + b + 3 = 0\\ - a + 2b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.
Suy ra {\rm{A}}\left( {2;1;4} \right), B\left( {2;1;0} \right) và \overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 4} \right)
Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d'
Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính R = \dfrac{{AB}}{2}.
Ta có I\left( {2;1;2} \right) và R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2
Vậy ta có {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.
Bước 1: Gọi (S’) là mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.
(S) có tâm I( - 1;1;2) và R = 2
Bước 2: Tìm J là điểm đối xứng của tâm mặt cầu (S) qua Oz.
Lấy đối xứng điểm I qua trục Oz ta được J(1; - 1;2).
Bước 3: Tìm mặt cầu (S’)
(S’) có tâm J và bán kính R có phương trình là: {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4
Trong không gian với hệ tọa độ {\rm{Ox}}yz. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2\,;\,0;1) và tiếp xúc với đường thẳng d: \dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}.
\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;1) . Lấy điểm M( 1;0;2) \in d ;
\begin{array}{l}\overrightarrow {MI} = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow u } \right] = ( - 2;2; - 2)\\R = d(I,d) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \end{array}
Vậy phương trình mặt cầu tâm I ( 2; 0; 1) bán kính \sqrt 2 là:
{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}, điểm A (2; -1; 1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.
Phương trình mặt phẳng \left( P \right) qua A , vuông góc \left( d \right) là:
- 1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y + 1} \right) + 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow -x + y + 2z + 1 = 0
Gọi I\left( {1 - t;2 + t; - 1 + 2t} \right) = d \cap \left( P \right), khi đó:
- \left( {1 - t} \right) + \left( {2 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2; - 1} \right)
Có I{A^2} = 14. Phương trình mặt cầu là:
{\left( {x-1} \right)^2} + {\left( {y-2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 14
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 16 = 0 và đường thẳng d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{z}{2}. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Ta xét mặt cầu (S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25
\Rightarrow I(1;2; - 2);R = 5
Điểm A(1;-3;0) thuộc d nên A \in (P) và d(I;(P)) = 5 nên thử các đáp án ta thấy C đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{z}{2} . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 2\sqrt 2 và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.
Tâm I thuộc đường thẳng d nên I\left( {t; - 3 + t;2t} \right)
Phương trình mặt phẳng \left( {{\rm{Oxz}}} \right):y = 0
Ta có bán kính mặt cầu IM = 2\sqrt 2 , mặt cầu cắt mặt phẳng (Oxz) theo đường tròn có bán kính HM=2 suy ra d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = IH = \sqrt {I{M^2} - H{M^2}} = \sqrt {8 - 4} = 2
Ta có \left| { - 3 + t} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 + t = 2}\\{ - 3 + t = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5 \Rightarrow I\left( {5;2;10} \right)}\\{t = 1 \Rightarrow I\left( {1; - 2;2} \right)}\end{array}} \right.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0 và đường thẳng \Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z . Mặt phẳng (P) vuông góc với \Delta và tiếp xúc với (S) có phương trình là
Tâm mặt cầu I(1;-2;1), bán kính R=3.
Mặt phẳng (P) vuông góc với \Delta có phương trình dạng 2{\rm{x - }}2y + z + D = 0
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu nên {\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Rightarrow \left| {D - 7} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = -2}\\{D = 16}\end{array}} \right.
Phương trình (P) là 2x-2y+z-2=0; 2x-2y+z+16=0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\\z = - t\end{array} \right. và 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình x + 2y + 2z + 3 = 0;x + 2y + 2z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâmI thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có
\begin{array}{l}I \in d \Rightarrow I\left( {t; - 1; - t} \right)\\ \Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {t - 2 - 2t + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| {t - 2 - 2t + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} \\ \Leftrightarrow \left| { - t + 1} \right| = \left| { - t + 5} \right| \Leftrightarrow t = 3\\ \Rightarrow I\left( {3; - 1; - 3} \right)\\ \Rightarrow R = \dfrac{{\left| { - 3 + 1} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow (S):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\end{array}
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} và hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z = 0. (Q): x – 2y + 3z -5 =0. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
I \in d \Rightarrow I\left( {2t;3 + t;2 + t} \right)
I \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - 2(3 + t) + 2(2 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {2;4;3} \right)
Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên R = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{|2 - 2.4 + 3.3 - 5|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {\dfrac{2}{7}}
\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{2}{7}
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A\left( {0;1;1} \right),{\mkern 1mu} B\left( {3;0; - 1} \right),{\mkern 1mu} C\left( {0;21; - 19} \right) và mặt cầu \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2} đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \overrightarrow {OM} là
+) Mặt cầu \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1 có tâm J\left( {1;1;1} \right), bán kính R = 1.
+) Tìm I:
3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \dfrac{{2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{6}
A\left( {0;1;1} \right),{\mkern 1mu} B\left( {3;0; - 1} \right),{\mkern 1mu} C\left( {0;21; - 19} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - {x_I};1 - {y_I};1 - {z_I}} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AB} \left( {3; - 1; - 2} \right), {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AC} \left( {0;20; - 20} \right)
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_I} = - \dfrac{{2.3 + 0}}{6}\\1 - {y_I} = - \dfrac{{2.\left( { - 1} \right) + 20}}{6}\\1 - {z_I} = - \dfrac{{2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 20} \right)}}{6}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;4; - 3} \right)
+) Ta có:
\begin{array}{l}3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2} \\= 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} \\+ 2.\overrightarrow {MI} .\left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) \\= 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\vec 0\\ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}\end{array}
Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất \Rightarrow M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và mặt cầu \left( S \right).
\overrightarrow {JI} = \left( {0;3; - 4} \right) \Rightarrow Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng \left( {1;1 + 3t;1 - 4t} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t \in \left[ {0;1} \right]
Mặt khác M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 + 3t} \right)} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 - 4t} \right)} \right)^2} = 1
\Leftrightarrow {t^2} = \dfrac{1}{{25}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{t = \dfrac{1}{5}}\\{}&{t = - \dfrac{1}{5}{\mkern 1mu} (L)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{5} \Rightarrow M\left( {1;\dfrac{8}{5};\dfrac{1}{5}} \right) \Rightarrow OM = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5}.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0 và ba điểmA(1; - 2;0), B(1;0; - 1) và C(0;0; - 2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, BC?
Ta có:
\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;2; - 2} \right)\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;1;2} \right)\end{array}
Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;1;2} \right). Suy ra (P) // (ABC)
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M, N, P, Q cách đều AB, BC, AC là tâm đường tròn nội tiếp, 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C do đó có 4 điểm M',N',P',Q' trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q trên (P) thỏa mãn tính chất cách đều AB, BC, AC.
Tương ứng có 4 mặt cầu tâm M',N',P',Q' thỏa mãn yêu cầu bài toán.