Các bài toán về đường thẳng và mặt cầu

Dễ thấy $E \in \left( P \right)$ . Gọi I$\left( {3;2;5} \right)$ là tâm khối cầu.

Đường thẳng qua I vuông góc với (P): $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 5 - t\end{array} \right.\,\,\left( d \right)$.

Gọi H là hình chiếu của I lên (P) $\Rightarrow H \in \left( d \right) \Rightarrow H\left( {3 + 2t;2 + 2t;5 - t} \right)$

Lại có $H \in \left( P \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 5 + t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 6 + 4t + 4 + 4t - 5 + t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 2}}{9} \Rightarrow H\left( {\dfrac{{23}}{9};\dfrac{{14}}{9};\dfrac{{47}}{9}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {EH} \left( {\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{{20}}{9}} \right) = \dfrac{5}{9}\left( {1;\;1;\;4} \right)//\left( {1;1;4} \right) = \overrightarrow a \end{array}$

Để đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ đi qua E và vuông góc với $HE$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_P}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow a \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow a } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\4\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\4\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {9; - 9;\;0} \right) = 9\left( {1; - 1;0} \right)$.

Vậy đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ đi qua E và nhận $\left( {1; - 1;0} \right)$ là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng $\left( \Delta  \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.$

Xét tứ diện SABC có: $SA = SB = SC$, $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0}$$\Rightarrow SABC$ là tứ diện đều.

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$ có tâm O, bán kính $R = 3$, ngoại tiếp khối tứ diện SABC $\Rightarrow OS = OA = OB = OC = 3$

Giả sử độ dài dây AB là  a  $\Rightarrow \,SI = AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow \,AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$\Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{1}{3}{a^2}}  = \sqrt {\dfrac{2}{3}} a$

$\Rightarrow R = \dfrac{{{a^2}}}{{2\sqrt {\dfrac{2}{3}} a}} = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{4} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 6 a}}{4} = 3 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 6$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến trục $Oz$ là: $d\left( {I;\left( {Oz} \right)} \right) = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.$

Vì  tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu R=5.

Vậy phương trình cần tìm là 

$\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.$

Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của $\Delta$ theo m.

Mặt phẳng $(\alpha ):x - my + z + 6m - 3z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - m;1)$, và mặt phẳng $(\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = (\alpha ) \cap (\beta )$. $\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - m;1)$, và mặt phẳng $(\beta ):mx + y - mz$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}}  = (m;1; - m).$ Ta có $M\left( { - 3m + \dfrac{4}{m} - 3;0; - 3m - \dfrac{4}{m}} \right) \in \Delta  = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)$

Do đó $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {{m^2} - 1;2m;{m^2} + 1} \right)$.

Bước 2: Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm c.

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Khi đó $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\vec u;\vec k] = \left( {2m;1 - {m^2};0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0$.

Vì $I(a;b;c) \in (Oxy)$ nên $I(a;b;0)$.

Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra $(P)$ là tiếp diện của mặt cầu $(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R$. Tìm a và b

Theo giả thiết ta suy ra $(P)$ là tiếp diện của mặt cầu $(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = R > 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8} \right|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = R\left( {{m^2} + 1} \right)}\\{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 =  - R\left( {{m^2} + 1} \right)}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = R}\\{b - 8 = R}\\{R > 0}\end{array}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2(a + 3) = 0\\6 - b =  - R\\b - 8 =  - R\\R > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 3 = 0}\\{6 - b = b - 8}\\{ - R = 6 - b < 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 3}\\{6 - b = b - 8}\\{R = 6 - b > 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 7\end{array} \right.$

Vậy $I( - 3;7;0)$, do đó $P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2} = 41$.