Hệ phương trình mũ và logarit

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1 \vee x <  - 1\\y > 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\{4^{x + {y^2}}} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\x + {y^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2y - 1\\{y^2} - 2y - 3 = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2y - 1\\y =  - 1;y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y =  - 1\\x =  - 7;y = 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.

Điều kiện: \(x > 0;y > 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\log x - \log y = 2\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\log \dfrac{x}{y} = 2\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} = 100\\x - 10y = 900\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100y\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100y\\100y - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1000\\y = 10\end{array} \right.\)

Vậy \(A = x - 2y = 1000 - 2.10 = 980\)

Nhân vế với vế của hai phương trình ta được:

\(\left( {{2^x}{{.9}^y}} \right).\left( {{3^x}{{.4}^y}} \right) = 162.48 \Leftrightarrow {6^x}{.36^y} = 162.48 \Leftrightarrow {6^x}{.6^{2y}} = {6^5} \Leftrightarrow x + 2y = 5\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\{3^x}{.4^y} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\{3^{5 - 2y}}{.4^y} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\\dfrac{{{3^5}}}{{{9^y}}}{.4^y} = {2^4}.3\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2y}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {1;2} \right)\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1;0 < x + 1 \ne 1\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\y > 0\end{array} \right.\)

Khi đó hệ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\y + 23 = {\left( {x + 1} \right)^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\{x^2} + 23 = {\left( {x + 1} \right)^3}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4x + 11} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 = {x_0}\\y = 4 = {y_0}\end{array} \right.\)

Do đó \({x_0} < {y_0}\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{6^x} = a > 0\\{3^y} = b > 0\end{array} \right.\) thì hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 2\\ab = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b + 2\\{b^2} + b - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b + 2\\b = 2(TM);b =  - 3(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 2\end{array} \right.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{6^x} = 6\\{3^y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 \in Z\\y = {\log _3}2 \in I\end{array} \right.\)

ĐKXĐ: \(x - y > 0 \Leftrightarrow x > y\) nên A sai.

Xét phương trình thứ nhất của hệ: ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x - y}} + 6{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} - 7 = 0$.

Đặt \(t = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} > 0\) thì phương trình trở thành \({t^2} + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1(TM)\\t =  - 7(L)\end{array} \right.\) 

Suy ra \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} = 1 \Leftrightarrow 2x - y = 0\)

Phương trình thứ hai của hệ ${3^{{{\log }_9}\left( {x - y} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\log _9}\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 1$.

Từ đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 2\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( { - 1; - 2} \right)\).

Trừ vế với vế của phương trình đầu cho phương trình hai ta được:

${2^x} - {2^y} + 2x - 2y = y - x \Leftrightarrow {2^x} + 3x = {2^y} + 3y$

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + 3t\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 3 > 0,\forall t \in R\) nên hàm số đồng biến trên \(R\).

Do đó \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y \Rightarrow {2^x} + 2x = 3 + y \Leftrightarrow {2^x} + x = 3\)

Xét hàm \(g\left( x \right) = {2^x} + x\) có \(g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0,\forall x \in R\) nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(R\).

Dễ thấy \(g\left( 1 \right) = 3\) nên \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình hay \(\left( {1;1} \right)\) là nghiệm duy nhất của hệ.

Vậy \({x_0} = {y_0} = 1 > 0\).

Phương trình \({3^x} - {3^y} = y - x \Leftrightarrow {3^x} + x = {3^y} + y\).

Xét hàm \(f\left( t \right) = {3^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 1 > 0,\forall t \in R\) nên hàm số đồng biến trên \(R\).

Do đó \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\).

Thay \(y = x\) vào phương trình \({x^2} + xy + {y^2} = 12\) ta được: \({x^2} + {x^2} + {x^2} = 12 \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 \Leftrightarrow x =  \pm 2 \Rightarrow y =  \pm 2\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {2;2} \right),\left( { - 2; - 2} \right)\).

Trừ phương trình 1 cho 2 vế với vế ta được:

\({2^x} - {2^y} = 2y - 2x \Leftrightarrow {2^x} + 2x = {2^y} + 2y\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t} + 2t\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 2 > 0,\forall t \in R\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(R\).

Do đó \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\).

Thay \(y = x\) vào phương trình \({2^x} = 2y\) ta được \({2^x} = 2x \Leftrightarrow {2^x} - 2x = 0\).

Xét hàm \(y=g\left( x \right) = {2^x} - 2x\) có \(g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2 = 0 \Leftrightarrow x = {\log _2}\dfrac{2}{{\ln 2}}\).

Suy ra \(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > {\log _2}\dfrac{2}{{\ln 2}};\) \(g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < {\log _2}\dfrac{2}{{\ln 2}}\)

\( \Rightarrow x = {\log _2}\dfrac{2}{{\ln 2}}\) là điểm cực tiểu của hàm số\( \Rightarrow {y_{CT}} = {2^{{{\log }_2}\frac{2}{{\ln 2}}}} - 2{\log _2}\dfrac{2}{{\ln 2}} = \dfrac{2}{{\ln 2}} - 2{\log _2}\dfrac{2}{{\ln 2}} < 0\)

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } g(x) =  + \infty \) suy ra đường thẳng \(y = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt.

Vậy số nghiệm của hệ là \(2\)

Ta thấy: nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ thì \(\left( { - {x_0};{y_0}} \right)\)  cũng là nghiệm của hệ, do đó \(\left( {0;{y_0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ.

Với \(x = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {2^y} = y\\y = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {m^2}\\{2^y} + y = 1\end{array} \right.\).

Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in R\) nên phương trình \({2^y} + y = 1\) có nghiệm duy nhất \(y = 0 \Rightarrow {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\).

Với \(m = 0\) thì hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\\{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = {2^y} + y\\{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = y\\{y^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 0\end{array} \right.\)

Do đó hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\)nếu \(m = 0\).