Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\{2^y} + 2y = 3 + x\end{array} \right.\). Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ, chọn mệnh đề đúng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Trừ vế với vế của phương trình đầu cho phương trình hai ta được:
${2^x} - {2^y} + 2x - 2y = y - x \Leftrightarrow {2^x} + 3x = {2^y} + 3y$
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + 3t\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 3 > 0,\forall t \in R\) nên hàm số đồng biến trên \(R\).
Do đó \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y \Rightarrow {2^x} + 2x = 3 + y \Leftrightarrow {2^x} + x = 3\)
Xét hàm \(g\left( x \right) = {2^x} + x\) có \(g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0,\forall x \in R\) nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(R\).
Dễ thấy \(g\left( 1 \right) = 3\) nên \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình hay \(\left( {1;1} \right)\) là nghiệm duy nhất của hệ.
Vậy \({x_0} = {y_0} = 1 > 0\).
Hướng dẫn giải:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp dùng hàm số.
