Hàm số mũ

Hàm số mũ $y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ đồng biến khi $a > 1$.

Đồ thị hàm số $y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Ta có:

Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.

$y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nên hàm số đồng biến nếu $\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1$.

Ta có: $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{2^x}}}}} = {2^x}$ nên hai hàm số $y = {2^x}$ và $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ là một. Do đó chúng có chung đồ thị.

Vì ${\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}$ và $- {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}$ đối nhau nên đồ thị hai hàm số đó đối xứng nhau qua $Ox$.

Dáng đồ thị là của hàm số $y = {a^x}$ với $a > 1$ nên loại A và C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;3} \right)$ nên chỉ có D thỏa mãn.

Quan sát đồ thị ta thấy nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên loại A và B.

Lại có, đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 1; - 2} \right)$ nên thay tọa độ điểm này vào các hàm số C và D ta được đáp án C.

Ta thấy:

- Hàm số $y = {b^x}$ nghịch biến nên $0 < b < 1$.

- Hàm số $y = {a^x},y = {c^x}$ đồng biến nên $a,c > 1 > b$, loại B và D.

- Xét phần đồ thị hai hàm số $y = {a^x},y = {c^x}$ ta thấy phần đồ thị hàm số $y = {c^x}$ nằm trên đồ thị hàm số $y = {a^x}$ nên ${c^x} > {a^x},\forall x > 0 \Leftrightarrow c > a$.

Ta thấy: Đồ thị hàm số $y = {b^x}$ đi xuống nên hàm số $y = {b^x}$ nghịch biến nên $0 < b < 1$.

Đồ thị hàm số $y = {a^x}$ đi lên nên hàm số $y = {a^x}$ đồng biến nên $a > 1$.

Vậy $0 < b < 1 < a$.

Hàm số xác định $\Leftrightarrow 1 - {3^{{x^2} - 5x + 6}} \ge 0 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 5x + 6}} \le 1$

$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=[2;3]$.

Đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {{x^\pi }} \right)'.{\pi ^x} + {x^\pi }.\left( {{\pi ^x}} \right)' = \pi .{x^{\pi  - 1}}.{\pi ^x} + {x^\pi }.{\pi ^x}.\ln \pi$

Suy ra $f'\left( 1 \right) = {\pi ^2} + \pi \ln \pi$.

Tập xác định của hàm số $y = {2^x}$ là $\mathbb{R}.$

Có $y = {2^{\ln x + {x^2}}} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$

Ta có: $y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow y' = {3^x}\ln 3$

Lại có: $y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow {3^x} = y - \ln 3 \Rightarrow y' = \left( {y - \ln 3} \right)\ln 3 = y\ln 3 - {\ln ^2}3$ 

Ta có: $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{3x}} - {e^{2x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {{e^{3x}} - 1} \right) - \left( {{e^{2x}} - 1} \right)}}{x}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {3.\dfrac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} - 2.\dfrac{{{e^{2x}} - 1}}{{2x}}} \right] = 3.1 - 2.1 = 1$

Do đó, thay $I = 1$ vào các đáp án ta được đáp án B.

Vậy khi $a \ne 1$ thì $\left( {a - 1} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0$

$\begin{array}{l}f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.7^{{x^2}}} < 1 \Leftrightarrow {7^{{x^2}}} < {2^{ - x}} \Leftrightarrow {x^2}.\ln 7 <  - x.\ln 2 \Leftrightarrow x\ln 2 + {x^2}\ln 7 < 0\\ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _2}7 < 0\\ \Leftrightarrow x{\log _7}2 + {x^2} < 0\end{array}$

Đối chiếu các đáp án thấy câu D sai.

Ta có: $C\left( {0;2} \right)$

$\begin{array}{l}{a^x} = 2 \Rightarrow x = {\log _a}2 \Rightarrow A({\log _a}2;2)\\{b^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _b}2 \Rightarrow B({\log _b}2;2)\end{array}$

Vì C nằm giữa A và B và

$\begin{array}{l}AC = 2BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  =  - 2\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {\log _a}2 = 2.{\log _b}2\\0 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{{{\log }_2}a}} = 2.\dfrac{1}{{{{\log }_2}b}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}b =  - 2{\log _2}a \Leftrightarrow {\log _2}b = {\log _2}{a^{ - 2}} \Leftrightarrow b = {a^{ - 2}}\end{array}$

Ta có:

$f'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 3} \right){e^{{x^3} - 3x + 3}} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x =  - 1 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.$

$f\left( 0 \right) = {e^3};f\left( 1 \right) = e;f\left( 2 \right) = {e^5}$ nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = e$ và $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = {e^5}$.

Vậy $m = {e^5}$.

Ta có: $f'\left( x \right) =  - 3{e^{2 - 3x}} < 0,\forall x \in R$.

Do đó hàm số $f\left( x \right)$ lên tục và nghịch biến trên $\left[ {0;2} \right]$.

Do đó $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{{{e^4}}};M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {e^2} \Rightarrow M.m = \dfrac{1}{{{e^2}}}$