Hàm số \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến khi nào?
Hàm số mũ \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến khi \(a > 1\).
Chọn khẳng định đúng:
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.
Chọn mệnh đề đúng:
Ta có:
Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.
\(y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên hàm số đồng biến nếu \(\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1\).
Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{2^x}}}}} = {2^x}\) nên hai hàm số \(y = {2^x}\) và \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) là một. Do đó chúng có chung đồ thị.
Chọn mệnh đề đúng:
Vì \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}\) và \( - {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}\) đối nhau nên đồ thị hai hàm số đó đối xứng nhau qua \(Ox\).
Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?
Dáng đồ thị là của hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) nên loại A và C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;3} \right)\) nên chỉ có D thỏa mãn.
Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào?
Quan sát đồ thị ta thấy nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên loại A và B.
Lại có, đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1; - 2} \right)\) nên thay tọa độ điểm này vào các hàm số C và D ta được đáp án C.
Cho các đồ thị hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\left( {0 < a,b,c \ne 1} \right)\), chọn khẳng định đúng:
Ta thấy:
- Hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).
- Hàm số \(y = {a^x},y = {c^x}\) đồng biến nên \(a,c > 1 > b\), loại B và D.
- Xét phần đồ thị hai hàm số \(y = {a^x},y = {c^x}\) ta thấy phần đồ thị hàm số \(y = {c^x}\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nên \({c^x} > {a^x},\forall x > 0 \Leftrightarrow c > a\).
Cho hai hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) với \(1 \ne a,b > 0\) lần lượt có đồ thị là \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\) như hình bên. Mệnh đề nào đúng?
Ta thấy: Đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) đi xuống nên hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đi lên nên hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến nên \(a > 1\).
Vậy \(0 < b < 1 < a\).
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số $y = \sqrt {1 - {3^{{x^2} - 5x + 6}}} .$
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow 1 - {3^{{x^2} - 5x + 6}} \ge 0 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 5x + 6}} \le 1$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D=[2;3]$.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^\pi }.{\pi ^x}\) tại điểm \(x = 1\).
Đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {{x^\pi }} \right)'.{\pi ^x} + {x^\pi }.\left( {{\pi ^x}} \right)' = \pi .{x^{\pi - 1}}.{\pi ^x} + {x^\pi }.{\pi ^x}.\ln \pi $
Suy ra \(f'\left( 1 \right) = {\pi ^2} + \pi \ln \pi \).
Tập xác định của hàm số \(y = {2^x}\) là:
Tập xác định của hàm số \(y = {2^x}\) là \(\mathbb{R}.\)
Hàm số \(y = {2^{\ln x + {x^2}}}\) có đạo hàm là
Có $y = {2^{\ln x + {x^2}}} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$
Cho hàm số \(y = {3^x} + \ln 3\). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow y' = {3^x}\ln 3\)
Lại có: \(y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow {3^x} = y - \ln 3 \Rightarrow y' = \left( {y - \ln 3} \right)\ln 3 = y\ln 3 - {\ln ^2}3\)
Cho giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{3x}} - {e^{2x}}}}{x}\), chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{3x}} - {e^{2x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {{e^{3x}} - 1} \right) - \left( {{e^{2x}} - 1} \right)}}{x} \)
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {3.\dfrac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} - 2.\dfrac{{{e^{2x}} - 1}}{{2x}}} \right] = 3.1 - 2.1 = 1$
Do đó, thay \(I = 1\) vào các đáp án ta được đáp án B.
Cho $a$ là số thực dương khác $1$. Xét hai số thực $x_1, x_2$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Vậy khi \(a \ne 1\) thì $\left( {a - 1} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0$
Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^x}{.7^{{x^2}}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
$\begin{array}{l}f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.7^{{x^2}}} < 1 \Leftrightarrow {7^{{x^2}}} < {2^{ - x}} \Leftrightarrow {x^2}.\ln 7 < - x.\ln 2 \Leftrightarrow x\ln 2 + {x^2}\ln 7 < 0\\ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _2}7 < 0\\ \Leftrightarrow x{\log _7}2 + {x^2} < 0\end{array}$
Đối chiếu các đáp án thấy câu D sai.
Cho các số thực dương $a, b$ khác $1$. Biết rằng đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị các hàm số \(y = {a^x};y = {b^x}\) và trục tung lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $C$ nằm giữa $A$ và $B$, và $AC= 2BC$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có: \(C\left( {0;2} \right)\)
\(\begin{array}{l}{a^x} = 2 \Rightarrow x = {\log _a}2 \Rightarrow A({\log _a}2;2)\\{b^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _b}2 \Rightarrow B({\log _b}2;2)\end{array}\)
Vì C nằm giữa A và B và
\(\begin{array}{l}AC = 2BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {\log _a}2 = 2.{\log _b}2\\0 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{{{\log }_2}a}} = 2.\dfrac{1}{{{{\log }_2}b}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}b = - 2{\log _2}a \Leftrightarrow {\log _2}b = {\log _2}{a^{ - 2}} \Leftrightarrow b = {a^{ - 2}}\end{array}\)
Gọi \(m\) là GTLN của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^3} - 3x + 3}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Chọn kết luận đúng:
Ta có:
\(f'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 3} \right){e^{{x^3} - 3x + 3}} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x = - 1 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\)
\(f\left( 0 \right) = {e^3};f\left( 1 \right) = e;f\left( 2 \right) = {e^5}\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = e\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = {e^5}\).
Vậy \(m = {e^5}\).
Gọi \(m,M\) lần lượt là GTNN, GTLN của hàm số \(y = {e^{2 - 3x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: \(f'\left( x \right) = - 3{e^{2 - 3x}} < 0,\forall x \in R\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) lên tục và nghịch biến trên \(\left[ {0;2} \right]\).
Do đó \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{{{e^4}}};M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {e^2} \Rightarrow M.m = \dfrac{1}{{{e^2}}}\)