Hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng

Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

Hai đường thẳng có một điểm chung duy nhất thì chúng cắt nhau.

Hai đường thẳng song song với nhau thì chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

Mặt phẳng được xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng nằm trong nó, hai đường thẳng cắt nhau nằm trong nó hoặc hai đường thẳng song song nằm trong nó.

Trường hợp ba điểm phân biệt thì chưa chắc đã xác định được mặt phẳng vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì ta không xác định được duy nhất mặt phẳng.

Tính chất của hai đường thẳng song song:

- Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Từ hai tính chất trên ta thấy chỉ có đáp án A đúng.

B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng

Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$ ta có:

$\begin{array}{l}I \in AE\,;\,\dfrac{{AI}}{{AE}} = \dfrac{2}{3}\\J \in AF\,;\,\dfrac{{AJ}}{{AF}} = \dfrac{2}{3}\end{array}$

Xét trong $mp(AEF)$ ta suy ra $IJ//EF$ (Định lí Ta – let đảo)

Mà $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ $\Rightarrow$ $EF // CD$

Vậy $IJ // CD.$

Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung (không cắt nhau) thì có thể song song hoặc chéo nhau nên A, B, C sai, D đúng.

Ta có: $MN, PQ$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABD$ và $CBD$ nên

$MN // BD ;$ $MN = \dfrac{1}{2}BD$ và $PQ // BD ;$ $PQ = \dfrac{1}{2}BD$

$\Rightarrow$ $MN // PQ$ và $MN = PQ$

Do đó $MNPQ$ là hình bình hành nên $MP,NQ$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Vậy A sai.

Trên $Bx$ và $Dz$ lấy điểm $B’$ và $D’$ sao cho $BB’ = 2, DD’ = 4.$

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD, I$ là trung điểm của $B’D’$

Ta có $BDD’B’$ là hình thang, $OI$ là đường trung bình của hình thang nên $OI // BB’ // DD’ // Cy$ và $OI = \dfrac{{BB' + {\rm{DD}}'}}{2} = \dfrac{{2 + 4}}{2} = 3$.

Xét mặt phẳng tạo bởi $OI$ và $CC’$ có: $AI \cap Cy = C'$.

Ta có $OI // CC’, AO = OC$ suy ra $AI = IC’$

Suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $ACC’$ $\Rightarrow CC' = 2OI = 6$

B sai vì hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì có thể chéo nhau hoặc song song.

C sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song thì có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

D sai vì hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau hoặc song song

Dễ thấy $I$ là trọng tâm của tam giác $SBD$ nên $BI, DI$ là các đường trung tuyến của tam giác $SBD.$

Suy ra $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SD$ và $SB.$

Nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ $\Rightarrow$ $MN // BD.$

Vậy tứ giác $MNBD$ là hình thang.

Vì $MN$ và $PQ$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC$ và $ABD$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}MN//PQ//AB\\MN = PQ = \dfrac{1}{2}AB\end{array} \right. \Rightarrow$ MNPQ là hình bình hành.

Để $MNPQ$ trở thành hình thoi ta cần thêm yếu tố $MN = PN.$

Ta có: $PN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $PN = \dfrac{1}{2}CD$.

$MN = PN$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD \Leftrightarrow AB = CD.$

Vậy để $MNPQ$ là hình thoi cần thêm điều kiện $AB = CD.$

Ta có $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$.

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {ABD} \right)\\I \in NQ \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I$ thuộc giao tuyến của $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$

$\Rightarrow I \in BD \Rightarrow I,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D$ thẳng hàng. 

Ta có

● $M \in SB$ suy $M$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

● $I$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

● $J$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Vậy $M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

Do $BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow M \in \left( {ABG} \right)\\M \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow M \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$$\Rightarrow \left( ABG \right)\cap \left( ACD \right)=AM\xrightarrow{{}}$A đúng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BI \subset \left( {ABG} \right)\\AM \subset \left( {ABM} \right)\\\left( {ABG} \right) \equiv \left( {ABM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM,BI$ đồng phẳng.

$\Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng$\xrightarrow{{}}$ B đúng.

Ta có $\left\{ \begin{align}  & DJ\subset \left( ACD \right) \\  & DJ\subset \left( BDJ \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow DJ=\left( ACD \right)\cap \left( BDJ \right)\xrightarrow{{}}$ D đúng.

Điểm $I$ di động trên $AG$ nên $J$ có thể không phải là trung điểm của $AM$

$\xrightarrow{{}}$ C sai

Trong $mp(EHI)$, gọi $O = HF \cap IG$. Ta có

● $O \in HF$ mà $HF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $O \in \left( {ACD} \right)$.

● $O \in IG$ mà $IG \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $O \in \left( {BCD} \right)$.

Do đó $O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)$.  $\left( 1 \right)$

Mà $\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD$.    $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in CD$.

Vậy ba đường thẳng $CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$ đồng quy.

Gọi $I = AD \cap BC.$ Trong mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$, gọi $K = BM \cap SI$. Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, gọi $N = AK \cap SD$.

Khi đó $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {AMB} \right)$.

Gọi $O = AB \cap CD$. Ta có:

● $O \in AB$ mà $AB \subset \left( {AMB} \right)$ suy ra $O \in \left( {AMB} \right)$.

● $O \in CD$ mà $CD \subset \left( {SCD} \right)$ suy ra ${\rm{IJ}},MN,SE$.

Do đó $O \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.    $\left( 1 \right)$

Mà $\left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN$.   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in MN$. Vậy ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.

Gọi $M$ là trung điểm của $CD, E$ và $F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và $ACD$ $\Rightarrow E \in BM,F \in AM.$

Trong $(AMB):$ $G = AE \cap BF \Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD.$

Giả sử bốn điểm $A, D, G, M$ đồng phẳng.

$A, D, M$ $\in \left( {ACD} \right) \Rightarrow G \in \left( {ACD} \right)$ $\Rightarrow AG \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)$(Vô lí)

 Do đó $A, D, M, G$ không đồng phẳng.

Vậy $AD$ và $GM$ là hai đường thẳng chéo nhau.