Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn \(L\) khi \(x \to {x_0}\) kí hiệu là:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} \) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} \)
\(= \sqrt {\dfrac{{{{9.3}^2} - 3}}{{\left( {2.3 - 1} \right)\left( {{3^4} - 3} \right)}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\), khi đó:
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| = \left| {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 4} \right| = 1\)
Số \(L\) là giới hạn phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là:
Số \(L\) là: + giới hạn bên phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)
+ giới hạn bên trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = - 1 < 0\end{array} \right..\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\). Chọn đáp án đúng:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 15}}{{x - 2}}\) là:
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 15} \right) = - 13 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\\x - 2 > 0,\forall x > 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 15}}{{x - 2}} = - \infty \)
Chọn đáp án đúng: Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương thì:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\) nên đáp án A đúng.
Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right) = + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty} \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1 = 2 > 0\end{array} \right..\)
Cho \(n = 2k + 1,k \in N\). Khi đó:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty \) nếu \(k\) lẻ.
Do đó, vì \(n = 2k + 1,k \in N\) là số nguyên dương lẻ nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{2x}}{{\sqrt {1 - x} }}}\,\,khi\,\,{x < 1}\\{\sqrt {3{x^2} + 1} }\,\,khi\,\,{x \ge 1}\end{array}} \right..\) Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {3{x^2} + 1} = \sqrt {{{3.1}^2} + 1} = 2\)
Khẳng định nào sau đây Sai?
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) = + \infty \end{array}\)
Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} = 12\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}} \)
Đáp án: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}} \)
Đáp án: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}} \)
Bước 1:
Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2} \right] = 2\).
Bước 2:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}.\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\\ = 12.\dfrac{1}{{2.\left( {2 + 1} \right)}} = 2\end{array}\)
Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn \(\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-20}{x-2}=10.\) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\)
Bước 1:
Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 20}}{{x - 2}}\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 10\) và \(f\left( x \right) - 20 = g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) + 20\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) + 20} \right] = 10.\left( {2 - 2} \right) + 20 = 20\)
Bước 2:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{6f\left( x \right) + 5 - 125}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - 20}}{{x - 2}}.\dfrac{6}{{\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\\ = 10.\dfrac{6}{{\left( {2 + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6.20 + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6.20 + 5}} + 25} \right]}} = \dfrac{4}{{25}}\end{array}\)
