Câu hỏi:
2 năm trước
Gọi \(m\) là giá trị thực thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\left( {m + 1} \right)\\{x^2} + y = {m^2}\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất, khi đó giá trị của \(m\) thỏa mãn:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta thấy: nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ thì \(\left( { - {x_0};{y_0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ, do đó \(\left( {0;{y_0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ.
Với \(x = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {2^y} = y\\y = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {m^2}\\{2^y} + y = 1\end{array} \right.\).
Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in R\) nên phương trình \({2^y} + y = 1\) có nghiệm duy nhất \(y = 0 \Rightarrow {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Với \(m = 0\) thì hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\\{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = {2^y} + y\\{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = y\\{y^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 0\end{array} \right.\)
Do đó hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\)nếu \(m = 0\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ:
- Nhận xét tính chất của nghiệm, từ đó nhẩm ra 1 nghiệm của hệ.
- Thay nghiệm đó vào hệ tìm \(m\).
- Thay \(m\) tìm được vào kiểm tra.
