Câu hỏi:
2 năm trước
Lập phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua $M\left( {2;7} \right)$ và cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
+) TH1: \(\left( \Delta \right)\) không có hệ số góc, khi đó phương trình \(\left( \Delta \right)\) có dạng \(x = c\) hay \(x - c = 0\).
\(\left( \Delta \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;7} \right)\) nên \(2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2\) \( \Rightarrow \left( \Delta \right):x - 2 = 0\).
Khi đó \(d\left( {N,\left( \Delta \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1\) (thỏa mãn).
Do đó ta có đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0\).
+) TH2: \(\left( \Delta \right)\) có hệ số góc.
PTĐT $\left( \Delta \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$ và có hệ số góc $k$ có dạng là:
$y - 7 = k\left( {x - 2} \right)$\( \Leftrightarrow \)\(kx - y + 7 - 2k = 0\)
Vì $\left( \Delta \right)$ cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1$ nên:
Ta có: $d(N, ∆) =1$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {( - k + 5)^2} = {(\sqrt {{k^2} + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{12}}{5}\end{array}$
Do đó ta có phương trình $\left( \Delta _2 \right)$ là: \(\dfrac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\dfrac{{12}}{5} = 0 \) \(\Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0\)
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là \(\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0\) và \(\left( \Delta _2 \right):12x - 5y + 11 = 0\).
Hướng dẫn giải:
- Phương trình \(\left( d \right)\) đi qua một điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có hệ số góc \(k\) là:\(y - {y_0} = k\left( {x - {x_0}} \right)\)
- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tìm \(k\): \(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\dfrac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
