Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$  cho hình vuông $ABCD$  biết  $M\left( {2;1} \right);N\left( {4;-2} \right);P\left( {2;0} \right);Q\left( {1;2} \right)$  lần lượt thuộc cạnh $AB,BC,CD,AD.$  Hãy lập phương trình  cạnh $AB$  của hình vuông.

Giả sử đường thẳng $AB$  qua $M$ và có VTPT là $\vec n = \left( {a;b} \right)\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$  

 => VTPT của $BC$ là: ${\vec n_1} = \left( { - b;a} \right)$.

 Phương trình AB có dạng: $a\left( {x-2} \right) + b\left( {y-1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow ax + by-2a-b = 0$

BC có dạng: $-b\left( {x-4} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0\;$ $ \Leftrightarrow -bx + ay + 4b + 2a = 0$

Do $ABCD$ là hình vuông nên  $d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)$  

 $ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {3b + 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 2a\\b =  - a\end{array} \right.$

TH1: \(b =  - 2a\)

Chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 2\) ta được \(AB:x - 2y - 2.1 - \left( { - 2} \right) = 0\) hay \(x - 2y = 0\)

\(BC: - \left( { - 2} \right)x + y + 4.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0\) hay \(2x + y - 6 = 0\)

CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTPT

Do đó CD: 1(x-2) – 2(y-0) = 0 hay x-2y-2=0

AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)\) làm VTPT

Do đó AD: 2(x-1) + 1(y-2) = 0 hay 2x+y-4=0

TH2: \(b =  - a\)

Chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 1\) ta được \(AB:x - y - 2.1 - \left( { - 1} \right) = 0\) hay \(x - y - 1 = 0\)

\(BC: - \left( { - 1} \right)x + y + 4.\left( { - 1} \right) + 2.1 = 0\) hay \(x + y - 2 = 0\)

CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT

Do đó CD: 1(x-2) – 1(y-0) = 0 hay x-y-2=0

AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT

Do đó AD: 1(x-1) + 1(y-2) = 0 hay x+y-3=0.