Một sợi dây kim loại dài \(a\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông \(\left( {a > x > 0} \right).\) Tìm \(x\) để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Do \(x\) là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \(\left( {0 < x < a} \right)\). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(a - x\).

Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x\)\( \Rightarrow r = \dfrac{x}{{2\pi }}\).

Do đó diện tích hình tròn là: \({S_1} = \pi .{r^2}\)\( = \dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{4\pi }}\).

Chu vi hình vuông là \(a - x \Rightarrow \) Cạnh hình vuông là \(\dfrac{{a - x}}{4}\). Do đó diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\dfrac{{a - x}}{4}} \right)^2}\).

Tổng diện tích hai hình:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\dfrac{{a - x}}{4}} \right)^2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{4{x^2} + \pi {{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{16\pi }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\end{array}\)

Xét hàm số \(S\left( x \right) = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\) ta có:\(S'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {4 + \pi } \right).x - 2a\pi }}{{16\pi }} = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).x - a\pi }}{{8\pi }}\).

Cho\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4 + \pi } \right)x - a\pi  = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\). Ta có BBT như sau :

Suy ra hàm \(S\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).

Do đó \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).