Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ

Mặt trụ tạo bởi hình vuông $ABCD$ khi quay quanh $MN$ có chiều cao $h = a$ và bán kính đáy $r = \dfrac{a}{2}$ nên có diện tích toàn phần:

${S_{tp}} = 2\pi r\left( {r + h} \right) = 2\pi .\dfrac{a}{2}\left( {\dfrac{a}{2} + a} \right) = \dfrac{{3{a^2}\pi }}{2}$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có diện tích bằng ${S_{tp}}$ của mặt trụ thì có bán kính $R$ với:

$4\pi {R^2} = \dfrac{{3{a^2}\pi }}{2} \Leftrightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}$

Khi cắt mặt trụ bởi mặt phẳng tạo với trục một góc $\alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right)$ thì ta được elip.

Bán kính đáy: $r = \dfrac{C}{{2\pi }} = \dfrac{{4\pi }}{{2\pi }} = 2$

Thể tích của khối trụ: $V = \pi {r^2}h = \pi {.2^2}.3 = 12\pi$.

Khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục mà khoảng cách giữa $\left( \alpha  \right)$ và trục nhỏ hơn bán kính hình trụ thì ta được thiết diện là hình chữ nhật.

Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$ thì bán kính đáy $r = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và chiều cao $h = a$.

Suy ra $V = \pi {r^2}h = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}$

Gọi $\left( O \right)$ là một đường tròn đáy của hình trụ

Mặt phẳng đã cho cắt $\left( O \right)$ tại $A$ và $B$, gọi $H$ là trung điểm $AB$.

Vì thiết diện thu được là hình vuông nên chiều cao hình trụ bằng

$h = AB = 2AH = 2\sqrt {O{A^2} - O{H^2}}  = a\sqrt 3$

Thể tích khối trụ là

$V = \pi {R^2}h = \pi {a^2}.a\sqrt 3  = \pi {a^3}\sqrt 3$

Ta có: $r = OA = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2};h = AA' = a$ nên ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .\dfrac{a}{2}.a + 2\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2} + \dfrac{{\pi {a^2}}}{2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}$

Tam giác $OAO'$ vuông tại $O$ nên:

$O'A = \sqrt {O{A^2} + O'{O^2}}  = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2$

Tam giác $AO'B$ có:

$O'{A^2} + O'{B^2} = A{B^2}$ nên tam giác $AO'B$ vuông tại $O'$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}O'B \bot {\rm{OO'}}\\O'B \bot A{\rm{O'}}\end{array} \right. \Rightarrow O'B \bot \left( {{\rm{AOO'}}} \right)$

${S_{\Delta AOO'}} = \dfrac{1}{2}OA.OO= \dfrac{1}{2}.4.4 = 8$

$\Rightarrow {V_{AOO'B}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta AOO'}}.O'B = \dfrac{1}{3}.8.4 = \dfrac{{32}}{3}$

Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là:

$\begin{array}{l}V = \pi r_1^2{h_1} + \pi r_2^2{h_2} = \pi r_1^2{h_1} + \pi \dfrac{1}{4}r_1^2.2{h_1} = \dfrac{3}{2}\pi r_1^2{h_1} = 30\\ \Rightarrow \pi r_1^2{h_1} = 20\end{array}$

Vậy thể tích khối trụ (H₁) là 20 cm³.

Dựa vào dữ kiện bài toán và hình vẽ $\Rightarrow$ Hình trụ có chiều cao $h = 2r$ và bán kính đáy $R = 2r$.

$\Rightarrow$ Thể tích khối trụ là $V = \pi {\left( {2r} \right)^2}2r = 8\pi {r^3} = 120 \Leftrightarrow {r^3} = \dfrac{{120}}{{8\pi }} = \dfrac{{15}}{\pi }$.

Vậy thể tích mỗi khối cầu là ${V_c} = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3}\pi .\dfrac{{15}}{\pi } = 20\,\,\left( {c{m^3}} \right)$.

Gọi $O,\,\,O'$ lần lượt là tâm đường tròn đáy chứa $A,\,\,B$.

Gọi $A'$ là hình chiếu của $A$ lên đường tròn đáy chứa điểm $B$.

Ta có $AA'\parallel OO' \Rightarrow OO'\parallel \left( {AA'B} \right) \supset AB$ $\Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $A'B$, ta có $O'H \bot A'B$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow O'H \bot \left( {AA'B} \right)$  $\Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = OH = \dfrac{1}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $O'HB$ có $HB = \sqrt {O'{B^2} - O'{H^2}}  = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

$\Rightarrow A'B = 2HB = \sqrt 3$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  có: $AA' = \sqrt {A{B^2} - A'{B^2}}  = \sqrt {6 - 3}  = \sqrt 3$.

Vậy thể tích khối trụ là $V = \pi {r^2}h = \pi {.1^2}.\sqrt 3  = \pi \sqrt 3$.

Tập hợp các điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ sao cho ${a^2} + {b^2} \le 2,\,\,\left| c \right| \le 8$ là khối trụ có bán kính đáy $r = \sqrt 2$, chiều cao $h = 16$.

Do đó thể tích khối trụ là $V = \pi {r^2}h = \pi .{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.16 = 32\pi$.

Gọi $r,\,\,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, ta có ${S_{xq}} = 2\pi rh \Leftrightarrow 16\pi  = 2\pi rh \Leftrightarrow rh = 8$.

Lại có thiết diện qua trục là hình vuông nên $h = 2r$, do đó $r.2r = 8 \Leftrightarrow {r^2} = 4$ $\Rightarrow r = 2,\,\,h = 4 = AA'$.

Theo bài ra ta có: $\angle AOB = {120^0}$.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $OAB$ ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \angle AOB\\A{B^2} = {r^2} + {r^2} - 2.r.r.\cos {120^0}\\A{B^2} = 3{r^2}\\ \Rightarrow AB = r\sqrt 3  = 2.\sqrt 3 \end{array}$

Vậy ${C_{ABB'A'}} = 2\left( {AB + AA'} \right) = 2\left( {2\sqrt 3  + 4} \right) = 8 + 4\sqrt 3$.

Giả sử thiết diện qua trục là hình chữ nhật $ABCD$, ta có $AD = h = 3,\,\,AB = 2r = 2$.

Vậy ${S_{ABCD}} = 3.2 = 6$.

Gọi $A',\,\,B'$ lần lượt là hình chiếu của $A,\,\,B$ lên đường tròn $\left( O \right)$.

      $C',\,\,D'$ lần lượt là hình chiếu của $C,\,\,D$ lên đường tròn $\left( {O'} \right)$.

$\Rightarrow AC'BD'$ là hình bình hành, lại có $AB = CD = C'D'$ nên $AC'BD'$ là hình chữ nhật.

Khi đó $AC'BD'.A'CB'D$ là hình hộp chữ nhật.

Ta có: ${V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + {V_{A.A'CD}} + {V_{B.B'CD}} + {V_{C.C'AB}} + {V_{D.D'AB}}$.

Ta có: ${V_{A.A'CD}} = \dfrac{1}{3}AA'.{S_{A'CD}} = \dfrac{1}{3}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{A'CB'D}} = \dfrac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}$.

CMTT ta có:  ${V_{B.B'CD}} = {V_{C.C'AB}} = {V_{D.D'AB}} = \dfrac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + 4.\dfrac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\\ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 30\\ \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 90\end{array}$

Theo bài ra ta có: $\angle \left( {AB;CD} \right) = {30^0} \Rightarrow \angle \left( {AB;C'D'} \right) = {30^0}$, giả sử $\angle \left( {AB;C'D'} \right) = \angle AOC' = {30^0}$.

Lại có $OA = OC' = \dfrac{1}{2}AB = 3$ $\Rightarrow {S_{OAC'}} = \dfrac{1}{2}OA.OC'.\sin \angle AOC' = \dfrac{1}{2}.3.3.\sin {30^0} = \dfrac{9}{4}$.

$\Rightarrow {S_{AC'BD'}} = 4{S_{OAC'}} = 9$.

Ta có:  ${V_{AC'BD'.A'CB'D}} = AA'.{S_{AC'BD'}}$$\Rightarrow 90 = AA'.9 \Leftrightarrow AA' = 10$.

Vậy thể tích khối trụ là $V = \pi {r^2}h = \pi .O{A^2}.AA' = \pi {.3^2}.10 = 90\pi$.

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,\,\,AB$ và $I$ là trung điểm của $OO'$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \cap \left( {O'CD} \right) = CD\\IM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,IM \bot CD\\O'M \subset \left( {O'CD} \right),\,\,O'M \bot CD\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle \left( {\left( {ABCD} \right);\left( {O'BC} \right)} \right) = \angle \left( {IM;O'M} \right) = \angle IMO' = {60^0}$.

Ta có: $MN = BC = 2a$ $\Rightarrow IM = \dfrac{1}{2}MN = a$.

Xét tam giác vuông $O'IM$ có: $O'M = IM.\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}$, $O'I = IM.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$\Rightarrow$ Chiều cao của khối trụ là $h = OO' = 2O'I = a\sqrt 3$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $O'CM$ có: $O'C = \sqrt {O'{M^2} + C{M^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}  = a$.

$\Rightarrow$ Bán kính đáy của khối trụ là $r = O'C = a$.

Vậy thể tích của khối trụ là: $V = \pi {r^2}h = \pi .{a^2}.a\sqrt 3  = \pi {a^3}\sqrt 3$.

Ta có: ${S_{ABCD}} = AB.AD = 2rh = 10.$

$\Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi rh = 10\pi .$

Ta có hình trụ có diện tích đáy là $S = \pi {R^2} = 900\pi  \Leftrightarrow R = 30\,\,cm$.

Diện tích xung quanh hình trụ là $S = 2\pi Rh = 2\pi .30.60 = 60\pi .60\,\,\left( {c{m^2}} \right).$

Vậy cần miếng kim loại hình chữ nhật chiều dài $60\pi cm$ và chiều rộng $60\, cm$

Gọi độ dài đường cao của ống trụ là $10x\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Chia ống trụ thành 10 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài đường sinh là $x\,\,\left( {cm} \right)$.

Trải phẳng mỗi ống trụ nhỏ ta được 1 hình chữ nhật có hai kích thước là $x$ và $2\pi .R = 2\pi .\dfrac{2}{\pi } = 4\,\,\left( {cm} \right)$.

Khi đó độ dài đường chéo của hình chữ nhật là $\sqrt {{x^2} + {4^2}}  = \sqrt {{x^2} + 16}$, và độ dài đường chéo chính bằng độ dài của 1 vòng.

Do đó ta có phương trình: $10\sqrt {{x^2} + 16}  = 50 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16}  = 5$ $\Rightarrow {x^2} + 16 = 25 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {tm} \right)$.

$\Rightarrow$ Độ dài đường cao của ống trụ là $h = 10x = 30\,\,\left( {cm} \right)$.

Vậy diện tích xung quanh của ống trụ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .\dfrac{2}{\pi }.30 = 120\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.

Tam giác BCD là tam giác đều cạnh 4$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S_{BCD}} = 4\sqrt 3 \\p = 12\end{array} \right.$

 Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp ta có:$R = \dfrac{{2S}}{p} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD

$\Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \Delta ABO$ vuông tại O có $BO = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3};AB = 4 \Rightarrow AO = h = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}$

Khi đó diện tích xung quanh hình trụ có $h = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{3};R = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$ là $S = 2\pi Rh = \dfrac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}$