Cho hình trụ có \(O,\,\,O'\)  là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật \(ABCD\) có \(A,\,\,B\) cùng thuộc \(\left( O \right)\) và \(C,\,\,D\)  cùng thuộc \(\left( {O'} \right)\) sao cho \(AB = a\sqrt 3 \), \(BC = 2a\) đồng thời \(\left( {ABCD} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc \({60^0}\). Thể tích khối trụ bằng:

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,\,AB\) và \(I\) là trung điểm của \(OO'\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \cap \left( {O'CD} \right) = CD\\IM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,IM \bot CD\\O'M \subset \left( {O'CD} \right),\,\,O'M \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABCD} \right);\left( {O'BC} \right)} \right) = \angle \left( {IM;O'M} \right) = \angle IMO' = {60^0}\).

Ta có: \(MN = BC = 2a\) \( \Rightarrow IM = \dfrac{1}{2}MN = a\).

Xét tam giác vuông \(O'IM\) có: \(O'M = IM.\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}\), \(O'I = IM.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \) Chiều cao của khối trụ là \(h = OO' = 2O'I = a\sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(O'CM\) có: \(O'C = \sqrt {O'{M^2} + C{M^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}  = a\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy của khối trụ là \(r = O'C = a\).

Vậy thể tích của khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi .{a^2}.a\sqrt 3  = \pi {a^3}\sqrt 3 \).