Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi bằng 12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng
Gọi R,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Giả sử thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, ta có AB=2R và AD=h.
Chu vi thiết diện chứa trục bằng 12 ⇒2R+h=6⇒h=6−2R.
Khi đó thể tích khối trụ:
V=πR2h=πR2(6−2R)=π.R.R(6−2R)≤π.(R+R+6−2R3)3=8π
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi R=6−2R⇔R=2.
Vậy thể tích khối trụ lớn nhất là 8π khi R=2.
Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 5cm. Mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo một thiết diện có chu vi bằng 26cm. Khoảng cách từ (α) đến trục của hình trụ bằng:
Mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật ABCD với AD=BC=h=5.
⇒2(AB+BC)=2(AB+5)=26⇔AB=8cm.
Gọi H là trung điểm của AB⇒OH⊥AB⇒OH⊥(ABCD) hay OH⊥(α).
⇒d(OO′;(α))=d(O;(α))=OH.
⇒AH=AB2=4cm.
Áp dụng định lý Pitago cho ΔAOH vuông tại H ta có:
OH=√OA2−AH2=√52−42=3cm.⇒d(OO′;(α))=3cm.