Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1| = 1\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Có \(\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = 1 + 3i\). Đặt \(z = x + yi\) thì
\(\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1 = (1 + 3i)(x + yi) - 1 = (x - 3y - 1) + (3x + y)i\)
Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành
\({(x - 3y - 1)^2} + {(3x + y)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow {(x - 3y)^2} - 2(x - 3y) + 1 + {(3x + y)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow 10{x^2} + 10{y^2} - 2x + 6y = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \dfrac{1}{5}x} \right) + \left( {{y^2} + \dfrac{3}{5}y} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{3}{{10}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{10}}\) (*)
Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để $OM$ nhỏ nhất.
Vì đường tròn này qua $O$ nên min $OM = 0$ khi \(M \equiv O\) hay $M\left( {0,0} \right)$, do đó $z = 0$ hay $min\left| z \right| = 0$.
Hướng dẫn giải:
Gọi \(z = x + yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).
Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTNN.
