Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(|{z_1} - {z_2}| = 1\) và \(|{z_1} + {z_2}| = 3\). Tính \(\max T = |{z_1}| + |{z_2}|\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Giả sử \({z_1} = {x_1} + {y_1}i\),\({z_2} = {x_2} + {y_2}i\).
Theo giả thiết \(|{z_1} - {z_2}| = 1\) có
\({({x_1} - {x_2})^2} + {({y_1} - {y_2})^2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 - 2{y_1}{y_2} = 1\) (1)
Theo giả thiết \(|{z_1} + {z_2}| = 3\) có
\({({x_1} + {x_2})^2} + {({y_1} + {y_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 + 2{y_1}{y_2} = 9\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có
\(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5\)
Ta có
\(T = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} \)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
\(T \le \sqrt {2.(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)} = \sqrt {10} \)
Hướng dẫn giải:
Gọi \({z_1} = {x_1} + {y_1}i\),\({z_2} = {x_2} + {y_2}i\), thay vào biểu thức đề bài tìm mối liên hệ \({x_1},{x_2},{y_1},{y_2}\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ để đánh giá \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
