Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1| = 1\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Có \(\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} = - i\). Đặt \(z = x + yi\) thì
\(\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 = - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi\)
Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành \({(y + 1)^2} + {x^2} = 1\)
Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*) có tâm $I\left( {0, - 1} \right)$, bán kính bằng $1$.
Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để $OM$ lớn nhất.
Vì \(O\) nằm trên đường tròn nên $OM$ lớn nhất khi $OM$ là đường kính của (*) \( \Leftrightarrow \) $I$ là trung điểm của $OM$ \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2{x_I}}&{}\\{y = 2{y_I}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}&{}\\{y = - 2}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)\). Suy ra \(z = - 2i \Leftrightarrow |z| = 2\)
Vậy $\max \left| z \right| = 2$
Hướng dẫn giải:
Gọi \(z = x + yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).
Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTLN.
