Biết rằng tồn tại các giá trị của \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\)  để ba số \(1 + \sin x,\,\,{\sin ^2}x,\,\,1 + \sin 3x\) lập thành một cấp số cộng, tính tổng $S$ các giá trị đó của $x$.

Ta có

$\begin{array}{l}1 + \sin x + 1 + \sin 3x = 2{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 2 + \sin x + 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 2{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 4\sin x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  \pm 1\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\\ + )\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \le 2\pi  \\\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{3}{2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\\ + )x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \le 2\pi  \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{{13}}{{12}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{11\pi }}{6}\\ + )x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi  \le 2\pi  \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7}}{{12}} \le k \le \dfrac{5}{{12}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\\ \Rightarrow S = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{3\pi }}{2} + \dfrac{{11\pi }}{{6}} + \dfrac{{7\pi }}{{6}} = 5\pi \end{array}$