Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.