Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng : \({x^3} - 3m{x^2} + 2m\left( {m - 4} \right)x + 9{m^2} - m = 0\) ?

Cách 1: Giải bài toán bằng cách tự luận:

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \dfrac{b}{a} = 3m\)

Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng nên \({x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\).

Thay ${x_2} = m$ vào phương trình ban đầu ta được \({m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}\left( {m - 4} \right) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)

Thử lại:

Khi $m = 0$ , phương trình trở thành \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi $m = 1$ , phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy $ - 2,1,4$ lập thành 1 cấp số cộng có công sai $d = 3$.

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Giải bài toán bằng cách trắc nghiệm.

Thử lần lượt từng đáp án. Trước hết ta thử đáp án A và D vì $m$ nguyên.

Khi $m = 0$ ta có phương trình \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi $m = 1$ phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy $ - 2,1,4$ lập thành 1 cấp số cộng có công sai $d = 3$ .

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.