Lũy thừa

\(P = \left( {\sqrt {ab}  - \dfrac{{ab}}{{a + \sqrt {ab} }}} \right):\dfrac{{\sqrt[4]{{ab}} - \sqrt b }}{{a - b}}\) $ = \left( {\dfrac{{\sqrt {ab} \left( {a + \sqrt {ab} } \right) - ab}}{{a + \sqrt {ab} }}} \right).\dfrac{{a - b}}{{\sqrt[4]{{ab}} - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}$\( = \dfrac{{a.\sqrt {ab}  + ab - ab}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + \sqrt a .\sqrt b }}.\dfrac{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}\)

\( = \dfrac{{a\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}\)  \( = \dfrac{{a\sqrt a .\sqrt b }}{{\sqrt a }}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}\) \( = \dfrac{{a\sqrt b .\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}\) \( = \dfrac{{a{{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}.\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{b}}} = a\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\)

Vậy $P = a\sqrt[4]{b}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}).$

Ta có:

$\begin{array}{l}C = \dfrac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}:\left( {2 + \sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{b}{a}}}} \right) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}:\left( {\dfrac{{2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}.\dfrac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}} = 1.\end{array}$

Ta có: $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \dfrac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 $

$= \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} + 1 = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$

Ta có: $a = {1^{3,8}} = 1$; $b = {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2} = 0,5$ và $c = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - 3}} = {2^3} = 8.$

Mà $0,5 < 1 < 8 \Rightarrow b < a < c$

$A = \sqrt {{{\left( {{a^e} + {b^e}} \right)}^2} - {{\left( {{4^{\dfrac{1}{e}}}ab} \right)}^e}}  = \sqrt {{a^{2e}} + 2{a^e}{b^e} + {b^{2e}} - 4{a^e}{b^e}}  $

$= \sqrt {{a^{2e}} - 2{a^e}{b^e} + {b^{2e}}}  = \sqrt {{{\left( {{a^e} - {b^e}} \right)}^2}}  = \left| {{a^e} - {b^e}} \right|$

Với $a = e;b = 2e$ thì $A = \left| {{a^e} - {b^e}} \right| = \left| {{e^e} - {{\left( {2e} \right)}^e}} \right| = \left( {{2^e} - 1} \right){e^e}$

Vì $0 < \sqrt 2  - 1 < 1$ nên ${\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n$.

Với $a > 1$ thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$.

Đáp án A: Vì $a > b > 0$ và $2 > 0$ nên ${a^2} > {b^2}$ (A sai).

Đáp án B: Vì $a > 1$ và $ - 2 >  - 3$ nên ${a^{ - 2}} > {a^{ - 3}}$ (B sai).

Đáp án C: Vì $a > b > 0$ và $ - \dfrac{3}{2} < 0$ nên ${a^{ - \dfrac{3}{2}}} < {b^{ - \dfrac{3}{2}}}$ (C đúng).

Đáp án D: Vì $0 < b < 1$ và $ - 2 >  - \dfrac{5}{2}$ nên ${b^{ - 2}} < {b^{ - \dfrac{5}{2}}}$  (D sai).

Đáp án A: Vì $\dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{2},m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^m}$ (đúng).

Đáp án B: Vì $\dfrac{4}{3} > 1,m \in {N^*}$ nên $1 = {1^m} < {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^m}$ (đúng).

Đáp án C: Vì $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4},m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^m} < {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^m}$ (đúng).

Đáp án D: Vì $\dfrac{{13}}{7} < 2,m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{{13}}{7}} \right)^m} < {2^m}$ (D sai).

Vì $ - \dfrac{1}{4} >  - \dfrac{1}{3}$ nên ${\left( {a - 2} \right)^{ - \dfrac{1}{4}}} \le {\left( {a - 2} \right)^{ - \dfrac{1}{3}}} \Leftrightarrow 0 < a - 2 \le 1 \Leftrightarrow 2 < a \le 3$.

Với $1 < a < b,m \in {N^*}$ thì ${1^m} < {a^m} < {b^m} \Rightarrow 1 < {a^m} < {b^m}$.

Vì $\dfrac{3}{4} < 2$ nên ${\left( {2 - a} \right)^{\dfrac{3}{4}}} > {\left( {2 - a} \right)^2} \Leftrightarrow 0 < 2 - a < 1 \Leftrightarrow 1 < a < 2$.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {a.\sqrt[3]{{a.\sqrt[4]{a}}}}  = \sqrt[{24}]{{{2^5}}}.\dfrac{1}{{\sqrt {{2^{ - 1}}} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {a.\sqrt[3]{{a.{a^{\frac{1}{4}}}}}}  = {2^{\frac{5}{{24}}}}{.2^{\frac{1}{2}}}\\ \Leftrightarrow \sqrt {a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{5}{4}}}}}}  = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\\ \Leftrightarrow \sqrt {a.{a^{\frac{5}{{12}}}}}  = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^{\frac{{17}}{{12}}}}}  = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\\ \Leftrightarrow {a^{\frac{{17}}{{24}}}} = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\\ \Leftrightarrow a = 2\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}};{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}$ ta có:

$A = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} = {5^{ - {{\sin }^2}x}} + {5^{ - {{\cos }^2}x}} $

$\ge 2\sqrt {{5^{ - {{\sin }^2}x}}{{.5}^{ - {{\cos }^2}x}}}  = 2\sqrt {{5^{ - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}}  = 2\sqrt {{5^{ - 1}}}  = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$

Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$

- Nếu $n$ lẻ thì $\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ nên B đúng, D sai.

- Nếu $n$ chẵn thì $\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ nếu $a > 0$ và $\sqrt[n]{{{a^n}}} =  - a$ nếu $a < 0$ nên A, C sai.

Cho $a \ge 0,b \ge 0,n \in {N^*}$, khi đó $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$.

Cho $a \ge 0,m,n \in {N^*}$ ta có: $\sqrt[{mn}]{a} = \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}}$

Ta có: $\sqrt[{mn}]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[{mn}]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{a} \Rightarrow {\left( {\sqrt[{mn}]{{{a^m}}}} \right)^n} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a$ nên A, B và C đúng.