Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9\\{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7}  - 2x\sqrt {3y + 1}  = 0\end{array} \right.\) có nghiệm là $\left( {a;b} \right)$. Khi đó giá trị biểu thức \(T = 5{a^2} + 4{b^2}\)

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 7\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7}  - 2x\sqrt {3y + 1}  = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {y + 4} \right)x - 3{y^2} - 12y - 9 = 0\), ta coi \(\left( 1 \right)\) là phương trình bậc hai ẩn \(x\) và \(y\) là tham số, giải \(x\) theo \(y\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 3y - 9\\x = y + 1\end{array} \right.\)

Với \(x =  - 3y - 9\) thì \(\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3y - 9 \ge  - 7\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le  - \dfrac{2}{3}\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) (Vô lý)

Với \(x = y + 1\) $ \Leftrightarrow y = x - 1$ thì

\(\left( 2 \right) \Rightarrow {x^2} + 4x - 6\sqrt {x + 7}  - 2x\sqrt {3x - 2}  + 14 = 0\) $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x\sqrt {3x - 2} + 3x - 2} \right) + \left( {x + 7 - 6\sqrt {x + 7} + 9} \right) = 0$ \( \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {3x - 2} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 7}  - 3} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {3x - 2} \\\sqrt {x + 7}  = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow y = 1\) (thỏa mãn)

Hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {2;\,1} \right)\)\( \Rightarrow a = 2\), \(b = 1\) \( \Rightarrow \) \(T = 24\).