Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình đưa về bậc nhất hai ẩn
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Cho $\left( {x;y} \right)$ với \(x\), \(y\) nguyên là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy + {y^2} + x = 7y\left( 1 \right)}\\{\dfrac{{{x^2}}}{y} + x = 12{\rm{ }}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\) thì tích $xy$ bằng
Điều kiện \(y \ne 0\).
Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \dfrac{x}{y} = 7 \left( 1 \right)}\\{x\left( {\dfrac{x}{y} + 1} \right) = 12 \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(x\), \(y\) là số nguyên nên \(y\) là ước của \(x\).
Từ \(\left( 2 \right)\) ta có \(x\) là ước của \(12\).
+ \(x = \pm 1\) thì \(\dfrac{{ \pm 1}}{y} + 1 = \pm 12\) (loại).
+ \(x = \pm 2\) thì \(\dfrac{{ \pm 2}}{y} + 1 = \pm 6\) (loại).
+ \(x = 3\) thì \(\dfrac{3}{y} + 1 = 4\)\( \Leftrightarrow y = 1\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow xy = 3\).
+ \(x = - 3\) thì \( - \dfrac{3}{y} + 1 = - 4\) (loại)
+ \(x = 4\) thì \(\dfrac{4}{y} + 1 = 3\Leftrightarrow y = 2\) (loại vì không thỏa mãn \(( 1 )\).
+ $x = - 4$ thì \( - \dfrac{4}{y} + 1 = - 3\) \( \Leftrightarrow y = 1\) (loại vì không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).
+ \(x = 6\) thì \(\dfrac{6}{y} + 1 = 2\)\( \Leftrightarrow y = 6\) (loại vì không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).
+ \(x = - 6\) thì \( - \dfrac{6}{y} + 1 = - 2\)\( \Leftrightarrow y = 2\) (loại vì không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).
+ \(x = 12\) thì \(\dfrac{{12}}{y} + 1 = 1\) vô nghiệm.
+ \(x = - 12\) thì \( - \dfrac{{12}}{y} + 1 = - 1\)\( \Leftrightarrow y = 6\) (loại vì không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).
Vậy có duy nhất một nghiệm nguyên \(x = 3\); \(y = 1\) nên \(xy = 3\).
Cho hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + xy - {y^2} = 0\\{x^2} - xy - {y^2} + 3x + 7y + 3 = 0\end{array} \right.$. Các cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(x,y\) đều là các số nguyên là :
Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - y\\2x = y\end{array} \right.$.
Trường hợp 1: $x = - y$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.
Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là $\left( {1; - 1} \right)$, $\left( {3; - 3} \right)$.
Trường hợp 2: $2x = y$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được $ - 5{x^2} + 17x + 3 = 0$ phương trình này không có nghiệm nguyên.
Vậy các cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(x,y\) đều là các số nguyên là $\left( {1; - 1} \right)$ và $\left( {3; - 3} \right)$.
Nếu \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4xy + {y^2} = 1\\y - 4xy = 2\end{array} \right.$ thì \(xy\) bằng bao nhiêu ?
- Trừ vế cho vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) cho \(\left( 2 \right)\) ta được :
\({x^2} + {y^2} - y = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 = 0\)
- Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0,\forall x\\{y^2} - y + 1 = {\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall y\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 > 0,\forall x,y\)
Do đó phương trình \({x^2} + {y^2} - y + 1 = 0\) vô nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị của \(xy\).
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = {y^3} - 3y\\{x^6} + {y^6} = 27\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?
Ta có : \({x^3} - 3x = {y^3} - 3y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0\end{array} \right.\)
Khi \(x = y\) thì \({x^6} + {x^6} = 27\) \( \Leftrightarrow {x^6} = \dfrac{{27}}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}\)
Do đó hệ có nghiệm \(\left( { \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}; \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}} \right)\)
Khi ${x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3 - xy$, ta có ${x^6} + {y^6} = 27$$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = 27$$ \Rightarrow \left( {3 - xy} \right)\left[ {{{\left( {3 - xy} \right)}^2} - 3{x^2}{y^2}} \right] = 27$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 - xy} \right)\left( {9 - 6xy + {x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2}} \right) = 27\\ \Leftrightarrow 27 - 9xy - 18xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} - {x^3}{y^3} - 9{x^2}{y^2} + 3{x^3}{y^3} = 27\\ \Leftrightarrow 2{x^3}{y^3} - 27xy = 0\\ \Leftrightarrow xy\left( {2{x^2}{y^2} - 27} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\{x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
+) Nếu \(x = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}0 = {y^3} - 3y\\{y^6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 \) nên phương trình có hai nghiệm \(\left( {0; \pm \sqrt 3 } \right)\).
+) Nếu \(y = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = 0\\{x^6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \) nên phương trình có hai nghiệm \(\left( { \pm \sqrt 3 ;0} \right)\).
+) Nếu \({x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\)
TH1: \(xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) thì:
\({x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\) nên ph vô nghiệm.
TH2: \(xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) thì:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + 2.\frac{{3\sqrt 6 }}{2} = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\end{array}\)
Nên phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có \(6\) nghiệm phân biệt.
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2\left| x \right| = 0\\{x^2} = {y^2} - 1\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó \({x^2} + {y^2}\) bằng:
Ta có \({x^2} + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow {\left| x \right|^2} + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| = 0\\\left| x \right| = - 2\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)
Thế vào phương trình thứ hai ta được \({y^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} = 1\).
Vậy \({x^2} + {y^2} = 0 + 1 = 1\).
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\{x^2} - {y^2} = 15\end{array} \right.\) có nghiệm là
Cách 1:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\{x^2} - {y^2} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 5\\{x^2} - {\left( {x - 5} \right)^2} = 15\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 5\\10x - 25 = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 5\\x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = 4\end{array} \right.\)
Cách 2
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\{x^2} - {y^2} = 15\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 1\end{array} \right.\)
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x - 4y = 8\end{array} \right.\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x - 4y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 4y = 44\\5x - 4y = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13x = 52\\5x - 4y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;3} \right).\)
Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} - \dfrac{6}{y} = 6\\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{y} = - 2\end{array} \right.\)
Tìm \({x_0} + {y_0}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} - \dfrac{6}{y} = 6\\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{y} = - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {x;y \ne 0} \right)\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = a\\\dfrac{1}{y} = b\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 6b = 6\\2a - b = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\y = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow x + y = - 1\)
