Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 2

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {2x + 5} \right| - 3 = x\\ \Leftrightarrow \left| {2x + 5} \right| = x + 3\,\,\,\left( {x \ge  - 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = x + 3\\2x + 5 =  - \left( {x + 3} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\2x + 5 =  - x - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\3x =  - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\,(tm)\\x =  - \dfrac{8}{3}\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ { - 2;\dfrac{{ - 8}}{3}} \right\}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}199 + 36 + 201 + 184 + 37\\ = \left( {199 + 201} \right) + \left( {36 + 184} \right) + 37\\ = 400 + 220 + 37\\ = 620 + 37\\ = 657\end{array}$

Vì AD là phân giác của tam giác ABC, theo tính chất của đường phân giác ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{{AC}}{{C{\rm{D}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{14}}{8} = \dfrac{{21}}{{C{\rm{D}}}} \Leftrightarrow C{\rm{D}} = \dfrac{{8.21}}{{14}} = 12cm\\ \Rightarrow BC = B{\rm{D}} + DC = 8 + 12 = 20cm\end{array}$.

Cạnh của hình vuông là: $8000:4 = 2000mm = 2m$

Ta có: $712,54 - 48,9 = 663,64$

Theo bài ta có: $AB = 3AM \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}$.

Vì $MN//BC,$ theo định lý Ta-let ta có:

$\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{{AC}} \Leftrightarrow AC = 2. 3 = 6cm$.

Cho $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta A'B'C'$ theo tỉ số $\dfrac{3}{5}$.

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}} = \dfrac{3}{5}$$\Rightarrow \dfrac{{{C_{\Delta ABC}}}}{{{C_{\Delta A'B'C'}}}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow {C_{\Delta ABC}} = \dfrac{3}{5}{C_{\Delta A'B'C'}}.$

Mà chu vi của tam giác ${C_{\Delta A'B'C'}} = 60cm$ nên ${C_{\Delta ABC}} = \dfrac{3}{5}. 60 = 36cm$.

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: $300:15:5 = 20:5 = 4dm$

Điều kiện: $x \ne  - 3.$

$\begin{array}{l}A = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}} = \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow \left( {2x - 1} \right).2 = 3.\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 4x - 2 = 3x + 9\\ \Leftrightarrow 4x - 3x = 9 + 2\\ \Leftrightarrow x = 11\;\;\;(tm)\end{array}$.

Vậy $x = 11$ thì $A = \dfrac{3}{2}.$ 

Điều kiện: $x \ne  \pm 3.$

Ta có: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}:\dfrac{2}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}.\dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{2} = \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{2}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{A}{B} < {x^2} + 5 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{2} < {x^2} + 5\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - x + 3 < 2{x^2} + 10\\ \Leftrightarrow 7x >  - 7 \Leftrightarrow x >  - 1.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $x \ne  \pm 3$ ta được $x >  - 1$ và $x \ne 3.$

Vậy để $\dfrac{A}{B} < {x^2} + 5$ thì  $x >  - 1$ và $x \ne 3.$

Có ba điểm trên hình vẽ là $A,B,C.$

Có ba đường thẳng trên hình vẽ là $AB,AC,BC.$

$\begin{array}{l}\;\;\;\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{2 - x}}{3} \le \dfrac{{3x - 3}}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right).6}}{{2.6}} + \dfrac{{\left( {2 - x} \right).4}}{{3.4}} \le \dfrac{{\left( {3x - 3} \right).3}}{{4.3}}\\ \Leftrightarrow 6\left( {x - 1} \right) + 4\left( {2 - x} \right) \le 3\left( {3x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 6x - 6 + 8 - 4x \le 9x - 9\\ \Leftrightarrow 2x + 2 \le 9x - 9\\ \Leftrightarrow 9x - 2x \ge 2 + 9\\ \Leftrightarrow 7x \ge 11\\ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{11}}{7}\end{array}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ {x|x \ge \dfrac{{11}}{7}} \right\}.$

Ta có

$\begin{array}{l}201,5\; - \;36,4:\;2,5\; \times \;0,9\\ = 201,5\; - \;14,56\; \times \;0,9\\ = 201,5 - 13,104\\ = 188,396\;\;\end{array}$

Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là $x\;\left( {km/h} \right), \left( {x > 0} \right)$.

$\Rightarrow$ Vận tốc của ô tô thứ hai là $x + 20 \left( {km/h} \right)$.

Đổi: 7 giờ 30 phút = 7,5h; 10 giờ 30 phút = 10,5h.

Thời gian ô tô thứ nhất đi đến khi gặp ô tô thứ hai là $10,5 - 6 = 4,5\;h.$

Thời gian ô tô thứ hai đi đến khi gặp ô tô thứ nhất là  $10,5 - 7,5 = 3\;h.$

Theo bài ta có phương trình sau:

$\begin{array}{l}\;\;\;4,5x = 3\left( {x + 20} \right)\\ \Leftrightarrow 4,5x = 3x + 60\\ \Leftrightarrow 1,5x = 60\\ \Leftrightarrow x = 40\;\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy vận tốc ô tô thứ nhất là $40km/h,$ vận tốc ô tô thứ hai là $40 + 20 = 60\;km/h.$

$\begin{array}{l}814-\left( {x-305} \right) = 712\\x - 305 = 814 - 712\\x - 305 = 102\\x = 102 + 305\\x = 407\end{array}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ ta có:

$\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)$

$\widehat {HAB} = \widehat {HCA}$ (cùng phụ góc $HAC$)

$\Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta CHA\; (g - g)$

Vì $\Delta AHB \backsim \Delta CHA$ (chứng minh câu trước) nên $\widehat {HBA} = \widehat {HAC}$ (cặp góc tương ứng)  (1)

Mà theo bài ra ta có:

$\widehat {HBE} = \dfrac{1}{2}\widehat {HBA}\;\;\;(BK$ là phân giác của $\widehat {ABC})\;\;\left( 2 \right)$  

$\widehat {HAD} = \dfrac{1}{2}\widehat {HAC}\;\;(AD$ là phân giác của $\widehat {HAC})\;\;\left( 3 \right)$ 

Từ (1); (2); (3) ta có: $\widehat {HBE} = \widehat {HAD} = \widehat {EAF}$

Xét $\Delta A{\rm{E}}F$ và $\Delta BEH$ ta có:

            $\widehat {HBE} = \widehat {EAF}\;\;\left( {cmt} \right)$

            $\widehat {HEB} = \widehat {FEA}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AEF \backsim \Delta BEH\;\;\left( {g - g} \right)$ 

*) Ta có: $\Delta AEF \backsim \Delta BEH$ (theo câu  trước)

$\Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {BHE} = {90^0}$  (các góc tương ứng)

$\Rightarrow BF \bot AD = \left\{ F \right\}.$

Xét $\Delta ABD$ ta có: $BF$ vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác

$\Rightarrow \Delta ABD$ là tam giác cân tại $B \Rightarrow BF$ là đường phân giác của tam giác.

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $AD$ hay $AF = FD.$

Xét $\Delta AKD$ ta có: $KF$ vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác

$\Rightarrow \Delta AKD$ là tam giác cân tại $K.$

$\Rightarrow \widehat {KAD} = \widehat {KDA}$  (hai góc kề đáy)

$\Rightarrow \widehat {KAD} = \widehat {DAH}\;\left( { = \widehat {KAD}} \right)$

Mà hai góc này là hai góc so le trong

$\Rightarrow KD//AH.$ 

*) Xét $\Delta BHA$ và $\Delta BAC$ ta có:

$\begin{array}{l}\widehat B:\;chung\\\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta BAC\;\left({g - g}\right)\end{array}$

$\Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}$  (các cặp cạnh tương ứng)  (*)

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta BAK$ ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {BHE} = \widehat {BAK} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\\widehat {HBE} = \widehat {ABK}\;\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHE \backsim \Delta BAK\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{HE}}{{AK}}$  (các cặp cạnh tương ứng)

Mà $\Delta AKD$ cân tại $K\;\;\left( {cm\;c)} \right) \Rightarrow KA = KD$

$\Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{HE}}{{AK}} = \dfrac{{EH}}{{KD}}$  (**)

Từ (*) và (**) ta có: $\dfrac{{EH}}{{KD}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{EH}}{{AB}} = \dfrac{{KD}}{{BC}}$ (đpcm). 

Số học sinh cả lớp là: $18 + 12 = 30$  (học sinh)

Số học sinh nữ chiếm số phần trăm so với số học sinh cả lớp là:

$18:30 \times 100 = 60\left( \%  \right)$

Ta chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$ với $x,y > 0.$

Ta có $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$$\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$ đúng với mọi $x,y > 0.$

Nên ta có $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$ với $x,y > 0.$

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}$ (1)

$\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{4}{{b + c}}$ (2) 

$\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{4}{{c + a}}$ (3)

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta có  $2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 4\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{2}{{a + b}} + \dfrac{2}{{b + c}} + \dfrac{2}{{c + a}}$ 

Dấu “ = ” xảy ra khi $a = b = c > 0.$