Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.

Ta chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$ với $x,y > 0.$

Ta có $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$$\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$ đúng với mọi $x,y > 0.$

Nên ta có $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$ với $x,y > 0.$

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}$ (1)

$\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{4}{{b + c}}$ (2) 

$\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{4}{{c + a}}$ (3)

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta có  $2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 4\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{2}{{a + b}} + \dfrac{2}{{b + c}} + \dfrac{2}{{c + a}}$ 

Dấu “ = ” xảy ra khi $a = b = c > 0.$