Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.

Ta chứng minh bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) với \(x,y > 0.\)

Ta có \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) đúng với mọi \(x,y > 0.\)

Nên ta có \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) với \(x,y > 0.\)

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) (1)

\(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{4}{{b + c}}\) (2) 

\(\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{4}{{c + a}}\) (3)

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta có  \(2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 4\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{2}{{a + b}} + \dfrac{2}{{b + c}} + \dfrac{2}{{c + a}}\) 

Dấu “ = ” xảy ra khi \(a = b = c > 0.\)