Trả lời bởi giáo viên
*) Ta có: \(\Delta AEF \backsim \Delta BEH\) (theo câu trước)
\( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {BHE} = {90^0}\) (các góc tương ứng)
\( \Rightarrow BF \bot AD = \left\{ F \right\}.\)
Xét \(\Delta ABD\) ta có: \(BF\) vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác
\( \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác cân tại \(B \Rightarrow BF\) là đường phân giác của tam giác.
\( \Rightarrow F\) là trung điểm của \(AD\) hay \(AF = FD.\)
Xét \(\Delta AKD\) ta có: \(KF\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác
\( \Rightarrow \Delta AKD\) là tam giác cân tại \(K.\)
\( \Rightarrow \widehat {KAD} = \widehat {KDA}\) (hai góc kề đáy)
\( \Rightarrow \widehat {KAD} = \widehat {DAH}\;\left( { = \widehat {KAD}} \right)\)
Mà hai góc này là hai góc so le trong
\( \Rightarrow KD//AH.\)
*) Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat B:\;chung\\\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta BAC\;\left({g - g}\right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\) (các cặp cạnh tương ứng) (*)
Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta BAK\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {BHE} = \widehat {BAK} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\\widehat {HBE} = \widehat {ABK}\;\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHE \backsim \Delta BAK\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{HE}}{{AK}}\) (các cặp cạnh tương ứng)
Mà \(\Delta AKD\) cân tại \(K\;\;\left( {cm\;c)} \right) \Rightarrow KA = KD\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{HE}}{{AK}} = \dfrac{{EH}}{{KD}}\) (**)
Từ (*) và (**) ta có: \(\dfrac{{EH}}{{KD}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{EH}}{{AB}} = \dfrac{{KD}}{{BC}}\) (đpcm).
Hướng dẫn giải:
+ Chứng minh tam giác cân, áp dụng tính chất tam giác cân để chứng minh 2 đường thẳng song song.
+ Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc, sau đó áp dụng tính chất bắc cầu và tính chất của tam giác cân để chứng minh yêu cầu của đề bài.