Phương trình chứa ẩn ở mẫu

ĐK: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\).

ĐK: \({x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1\)

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm \dfrac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3\left( {4x + 1} \right)}}{{\left( {4x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{2\left( {4x - 1} \right)}}{{\left( {4x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right)}} - \dfrac{{8 + 6x}}{{\left( {4x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right)}}\)

\( \Rightarrow - 3\left( {4x + 1} \right) = 2\left( {4x - 1} \right) - \left( {8 + 6x} \right)\)

\( \Leftrightarrow - 12x - 3 = 8x - 2 - 8 - 6x\)

\( \Leftrightarrow - 12x - 8x + 6x = - 2 - 8 + 3\)

\( \Leftrightarrow - 14x = - 7 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{2}\).

 ĐKXĐ: \(x \ne \dfrac{1}{5};\,x \ne \dfrac{3}{5}\)

Khi đó \(\dfrac{3}{{5x - 1}} + \dfrac{2}{{3 - 5x}} = \dfrac{4}{{\left( {1 - 5x} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{{5x - 1}} + \dfrac{2}{{3 - 5x}} = \dfrac{4}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {3 - 5x} \right)}}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} + \dfrac{{2\left( {5x - 1} \right)}}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} = \dfrac{4}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}}\)

\( \Rightarrow 3\left( {3 - 5x} \right) + 2\left( {5x - 1} \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow 9 - 15x + 10x - 2 = 4\)

\( \Leftrightarrow - 5x = - 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{5}\left( {KTM} \right)\)

Vậy \(S = \emptyset \)

* Xét phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 2x}}{x} = 0\)

ĐK: \(x \ne 0\)

Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 2x}}{x} = 0\)\( \Rightarrow {x^2} + 2x = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\\x + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {KTM} \right)\\x = - 2\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 2x}}{x} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).

* Xét phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\)

ĐK: \(x \ne 2\)

Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\)\( \Rightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {KTM} \right)\\x = - 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).

Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên tương đương.

Điều kiện: \(x \ne  - 1\)

Ta có:

\(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{3x + 3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2.3}}{{3\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{x}{{3\left( {x + 1} \right)}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{6 + x}}{{3\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6 + x = 3x + 3\\ \Leftrightarrow 6 - 3 = 3x - x\\ \Leftrightarrow 2x = 3\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

ĐKXD \(x \ne 1;\,x \ne 2\)

Ta có \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

 \( \Rightarrow x - 2 - 7x + 7 = - 1 \Leftrightarrow - 6x = - 6 \Leftrightarrow x = 1\)(không thỏa mãn ĐK)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

Bạn Long sai từ bước \(2\) do không đổi dấu tử số \(1\) khi đổi dấu mẫu.

Để \(A = B\) thì \(1 - \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} - 8}}\).

ĐKXĐ: \(x \ne 2\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 - \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} - 8}}\,\,\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - 8 + {x^2} + 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\\ \Rightarrow {x^3} - 8 + {x^2} + 2x + 4 = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} + 2x - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 3{x^2} - 6x + 8x - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 2} \right) + 3x\left( {x - 2} \right) + 8\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} + 3x + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {loai} \right)\\{x^2} + 3x + 8 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2.\dfrac{3}{2}.x + \dfrac{9}{4} + \dfrac{{23}}{4} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{23}}{4} = 0\) (vô nghiệm do \({\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} \ge 0,\dfrac{{23}}{4} > 0\) nên \({\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{23}}{4} \ge \dfrac{{23}}{4} > 0,\forall x\))

Vậy không có giá trị nào của \(x\) để \(A = B\).

*Xét phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\)

ĐKXĐ: \(x \ne 0; x \ne 2\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x - 2} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow 1\left( {x - 2} \right) + 2x = 0 \Leftrightarrow x - 2 + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{2}{3}\).

* Xét phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - x}} + \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 0\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x \ne 0\\{x^2} - 3x + 2 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 1} \right) \ne 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)

Khi đó \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - x}} + \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x - 2} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow 1\left( {x - 2} \right) + 2x = 0 \Leftrightarrow x - 2 + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là \(S = \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\).

Dễ thấy hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm, cùng số nghiệm và tương đương nhưng không có cùng điều kiện xác định.

Ta có: \({x^2} + 3x + 2 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)

\({x^2} + 5x + 6 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\)

\({x^2} + 7x + 12 = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)\)

\({x^2} + 9x + 20 = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)\)

Khi đó:

\(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{1}{3}\)

ĐKXĐ: \(x \ne - 1; - 2; - 3; - 4; - 5\) .

Khi đó:

\(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 4}} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x + 5} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)

\( \Rightarrow 3\left[ {x + 5 - \left( {x + 1} \right)} \right] = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {x + 5 - x - 1} \right) = {x^2} + 6x + 5\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 7} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 7\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

\( \Rightarrow S = \left\{ {1; - 7} \right\}\) nên tổng bình phương các nghiệm là: \({1^2} + {\left( { - 7} \right)^2} = 50\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ne 0\\\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) \ne 0\\x\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.\,\left( * \right)\)

Ta có: \({x^2} + x + 1\) \( = {x^2} + 2.\dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\) \( = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\)

\({x^2} - x + 1\) \( = {x^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\) \( = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\)

\({x^4} + {x^2} + 1 > 0\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{3}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.\)

Khi đó, \(pt \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{3\left( {2x - 3} \right)}}{{x\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - x + 1}} = \dfrac{3}{{x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{3}{{x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}}} - \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}}} = \dfrac{3}{{x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + 1 - {x^3} + 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \dfrac{3}{{x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \dfrac{3}{{x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}} = \dfrac{3}{{x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}\)

\( \Rightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\left( {loại} \right)\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

ĐK: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\).

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\{x^2} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  \pm 1\end{array} \right.\)

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 3\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \dfrac{{x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}}\\ \Rightarrow 6x = x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 6x = 3x - {x^2} - 3x - 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right).\end{array}\)

Ta thấy \(x =  - 3\) không thỏa mãn ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm.

* Xét phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\)

ĐK: \(x \ne 0\)

Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\)\( \Rightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\\x + 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {KTM} \right)\\x =  - 3\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ { - 3} \right\}\).

* Xét phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\)

ĐK: \(x \ne 2\)

Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\)\( \Rightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {KTM} \right)\\x =  - 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).

*  Xét phương trình $\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + 8$

ĐKXĐ: $x \ne 7$

 $\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + 8$\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + \dfrac{{8\left( {x - 7} \right)}}{{x - 7}}\)

$ \Rightarrow x - 8 =  - 1 + 8.\left( {x - 7} \right)$

$ \Leftrightarrow x - 8 =  - 1 + 8x - 56$

$ \Leftrightarrow x - 8x =  - 1 - 56 + 8$

$ \Leftrightarrow  - 7x =  - 49 \Leftrightarrow x = 7$ (không thỏa mãn ĐKXĐ ). Vậy $S = \emptyset $

Do đó có \(1\) khẳng định b đúng.

 ĐKXĐ: \(x \ne 1;\,\,x \ne 3\)

Khi đó \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 3}} = 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\\ \Leftrightarrow  - 8x + 2x + 4x = 3 - 15 + 2\\ \Leftrightarrow  - 2x =  - 10\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 5\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy \(S = \left\{ 5 \right\}\) .

Hay có 1 giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Điều kiện: \(x \ne 1;\,x \ne 2\)

Ta có \(\dfrac{{3x - 5}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {3x - 5} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

\( \Rightarrow \left( {3x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 11x + 10 - 2{x^2} + 7x - 5 = {x^2} - 3x + 2\)

\( \Leftrightarrow  - x =  - 3 \Leftrightarrow x = 3 \,\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có một nghiệm \(x =3\) .

ĐKXĐ: $x \ne 1;\,x \ne 2$

Ta có $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

 \( \Rightarrow x - 2 - 7x + 7 =  - 1 \Leftrightarrow  - 6x =  - 6 \Leftrightarrow x = 1\)(không thỏa mãn ĐK)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

Bạn Long sai ở bước $3$  do không đối chiếu với điều kiện ban đầu.

Để \(A = B\) thì \(1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) .

ĐKXĐ: \(x \ne  - 2\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\,\,\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\ \Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x + 2x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,(tm)\\x = 1\,\,\,\,(tm)\\x =  - 2\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy để \(A = B\) thì \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).   

*Xét phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\)

ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne 2\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x - 2} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow 1\left( {x - 2} \right) + 2x = 0 \Leftrightarrow x - 2 + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{2}{3}\).

* Xét phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\)

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 2\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{5x - 2}}{{{x^2} - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 2x + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ ta có phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \ne  \pm 2\).

Do đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 1 \right)\).