Biết \({x_0}\) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.\) Chọn khẳng định đúng.
Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:
\(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{1}{5} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{2}{5}\)
ĐKXĐ: $x \ne - 1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .
Khi đó:
\(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x + 7}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} \)\(\Rightarrow 5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\)\(\Leftrightarrow 5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x - 22 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 11 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x + 11x - 11 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 11} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 11\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow S = \left\{ {1; - 11} \right\}\)
Vậy \({x_0} = - 11 < - 5\) .
Số nghiệm của phương trình $\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 3}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{4x + 4}}{{{x^2} + 2x - 3}}$ là
Ta có $\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 3}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{4x + 4}}{{{x^2} + 2x - 3}}$
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x + x + 2}}{{x + 3}} - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 3x - 3}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 3}} - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
ĐK: \(x \ne \left\{ {1; - 3} \right\}\)
Khi đó \(pt \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
\(\)\( \Rightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 3} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) - 4} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2 - {x^2} - 4x - 3 - 4} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( { - 3x - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\ - 3x - 9 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left( {TM} \right)\\x = - 3\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - 1\).
