Câu hỏi:
2 năm trước
Cho phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 5x + 6}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} = \dfrac{1}{3}\).
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: \({x^2} + 3x + 2 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
\({x^2} + 5x + 6 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\)
\({x^2} + 7x + 12 = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)\)
\({x^2} + 9x + 20 = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)\)
Khi đó:
\(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{1}{3}\)
ĐKXĐ: \(x \ne - 1; - 2; - 3; - 4; - 5\) .
Khi đó:
\(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 4}} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{1}{3}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{1}{3}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x + 5} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)
\( \Rightarrow 3\left[ {x + 5 - \left( {x + 1} \right)} \right] = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {x + 5 - x - 1} \right) = {x^2} + 6x + 5\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 7 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 7} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 7\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
\( \Rightarrow S = \left\{ {1; - 7} \right\}\) nên tổng bình phương các nghiệm là: \({1^2} + {\left( { - 7} \right)^2} = 50\)
Hướng dẫn giải:
Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp tách hạng tử để giải
\(\dfrac{1}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{b - a}}\left( {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} \right), a \ne b\).
Sau đó, làm theo các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.
+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.
+ Giải phương trình vừa nhận được.
+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.
Giải thích thêm:
Một số em cộng nhầm \({1^2} + {\left( { - 7} \right)^2} = - 48\) và chọn A là sai.
