Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

Gọi ${x_0}$ là nghiệm chung của hai phương trình thì ${x_0}$ phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay $x = {x_0}$ vào hai phương trình trên ta được $\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\\{x_0}^2 + {x_0} + m = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow (m - 1){x_0} + 1 - m = 0$ $\Leftrightarrow (m - 1)(x_0-1) = 0\,(*)$

Xét phương trình (*)

+) Nếu $m = 1$ thì $0 = 0$ (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy $m = 1$ không thỏa mãn.

+) Nếu $m \ne 1$ thì ${x_0} = 1$.

Thay ${x_0} = 1$ vào phương trình ${x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0$ ta được $m =  - 2$.

Vậy $m =  - 2$ thì hai phương trình có nghiệm chung.

Gọi nghiệm phương trình (2) là ${x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)$ thì  nghiệm phương trình (1) là $2{x_0}$.

Thay ${x_0},2{x_0}$ lần lượt vào phương trình (2) và (1) ta được $\left\{ \begin{array}{l}{(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 10{x_0} =  - 2m$$\Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{m}{5}$

Do ${x_0} \ne 0$ nên $m \ne 0$.

Thay ${x_0} =  - \dfrac{m}{5}$ vào phương trình (2) ta được ${\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 45\end{array} \right.$

Kết hợp $m \ne 0$ ta được $m =  - 45$

Phương trình (1) có hai nghiệm ${\Delta _1} \ge 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2{m^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^3} + 7\sqrt 2  - 23} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 4{m^2} + 1 - 4{m^3} - 28\sqrt 2  + 92 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} - 4{m^3} + 4{m^2} - 28\sqrt 2  + 93 \ge 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Phương trình (2) có hai nghiệm ${\Delta _2} \ge 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - m} \right)^2} - 8\left( {9\sqrt 2  - 30} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^3} + {m^2} - 72\sqrt 2  + 240 \ge 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}$

Hai phương trình đã cho có nghiệm chung là $x = 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 + \left( {2{m^2} + 1} \right).3 + {m^3} + 7\sqrt 2  - 23 = 0\\2.9 + \left( {{m^2} - m} \right).3 + 9\sqrt 2  - 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\3{m^2} - 3m + 9\sqrt 2  - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{m^2} - m + 3\sqrt 2  - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}$

Giải phương trình (4) ta được:

$\begin{array}{l}\left( 4 \right) \Leftrightarrow {m^2} - m = 4 - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{4} - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17 - 12\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{9 - 2.3.2\sqrt 2  + 8}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\\m - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\\m = \sqrt 2  - 1\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\end{array} \right.\end{array}$

+) Với $m = 2 - \sqrt 2$ ta có:

$\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^3} + 6{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 20 - 14\sqrt 2  + 6\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 7\sqrt 2  + 36 - 24\sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow 45 - 31\sqrt 2  = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

$\Rightarrow m = 2 - \sqrt 2$ không thỏa mãn bài toán.

+) Với $m = \sqrt 2  - 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^3} + 6{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow  - 7 + 5\sqrt 2  + 6\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow  - 18 + 12\sqrt 2  + 18 - 12\sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

$\Rightarrow m = \sqrt 2  - 1$ thỏa mãn bài toán.

Vậy $m = \sqrt 2  - 1$ thỏa mãn bài toán.

$\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8  \cr &  \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27 = 27{x^3} + 8  \cr &  \Leftrightarrow 18{x^3} - 33{x^2} - 57x - 18 = 0  \cr &  \Leftrightarrow 3(6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6) = 0  \cr &  \Leftrightarrow 6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6 = 0  \cr &  \Leftrightarrow 6{x^3} - 18{x^2} + 7{x^2} - 21x + 2x - 6 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 6{x^2}(x - 3) + 7x(x - 3) + 2(x - 3) = 0  \cr &  \Leftrightarrow (x - 3)(6{x^2} + 7x + 2) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 3 = 0 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \cr}$

+) Giải phương trình:  $6{x^2} + 7x + 2 = 0$

Ta có : $\Delta  = {( - 7)^2} - 4.6.2 = 1 > 0$ suy ra phương trình có hai nghiệm là:   $\displaystyle {x_1} = {{ - 7 - \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 2} \over 3};\,\,\,\displaystyle {x_2} = {{ - 7 + \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 1} \over 2}.$

Tập nghiệm của phương trình đã cho là  $\displaystyle S = \left\{ {3;{{ - 2} \over 3};{{ - 1} \over 2}} \right\}.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình ${x^2} + 3x - 1 - 0$ có: $\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 13 > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}$ và ${x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}.$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S = \left\{ {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.$