Cho hai phương trình \({x^2} - 13x + 2m = 0\) (1) và \({x^2} - 4x + m = 0\) (2). Xác định \(m\) để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi \(1\)  nghiệm phương trình (2).

Gọi nghiệm phương trình (2) là \({x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)\) thì  nghiệm phương trình (1) là \(2{x_0}\).

Thay \({x_0},2{x_0}\) lần lượt vào phương trình (2) và (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 10{x_0} =  - 2m\)\( \Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{m}{5}\)

Do \({x_0} \ne 0\) nên \(m \ne 0\).

Thay \({x_0} =  - \dfrac{m}{5}\) vào phương trình (2) ta được \({\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 45\end{array} \right.\)

Kết hợp \(m \ne 0\) ta được \(m =  - 45\)