Bài tập ôn tập chương 2

Gọi phương trình đường trung trực của $AB$ là $d:y = mx + n$ và $MN:y = ax + b$

Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a =  - b$;

$M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a =  - 2$

Do đó $MN:y =  - 2{\rm{x}} + 2$.

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$.

Vì $d$ là đường trung trực của $AB$ nên $BC \bot MN \Rightarrow m( - 2) =  - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow d:y = \dfrac{1}{2}x + n$

Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên \(d\)  đi qua $P$

$ \Rightarrow  - 1 = \dfrac{1}{2}( - 1) + n \Leftrightarrow n =  - \dfrac{1}{2}$.

Vậy trung trực của $AB$ là : $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$.

Hàm số có đồ thị \({d_1}:y = \left( {m - 2} \right)x + m + 4\) luôn nghịch biến \( \Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\)

Hàm số có đồ thị \({d_2}:y = \left( {n + 1} \right)x - 3\) luôn đồng biến \( \Leftrightarrow n + 1 > 0 \Rightarrow n >  - 1\)

Vậy \(m < 2\) thì hàm số có đồ thị \({d_1}\) luôn nghịch biến.

       \(n >  - 1\) thì hàm số có đồ thị \({d_2}\) luôn đồng biến.

Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cùng đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\) nên ta thay tọa độ điểm A vào hai phương trình ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = \left( {m - 2} \right).1 + m + 4\\0 = \left( {n + 1} \right).1 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 + m + 4 = 0\\n + 1 - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m =  - 2\\n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\n = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(m =  - 1;n = 2\).

Để \(\left( d \right)\) song song với \(\left( \Delta  \right)\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 =  - 4\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 2\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow m =  - 2.\)

Vậy \(m =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu.

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \left( {m - 2} \right)x + m\\ \Leftrightarrow y = mx - 2x + m\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)m - 2x - y = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để phương trình (*) nghiệm đúng với mọi \(m\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\ - 2x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right.\).

Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\) với mọi \(m\).

Vì đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\) nên gọi phương trình đường thẳng \(AB\)có hệ số góc \(k\):

\(y = k\left( {x + 1} \right) + 2.\)

Mà \(AB \bot \left( \Delta  \right) = B\) nên suy ra: \(k.\left( { - 4} \right) =  - 1\, \Rightarrow k = \dfrac{1}{4}\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(y = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right) + 2\) hay \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{9}{4}.\)

Khi đó tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{9}{4}\\y =  - 4x + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{5}{{17}}\\y = \dfrac{{37}}{{17}}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 5}}{{17}};\dfrac{{37}}{{17}}} \right)\)

Vậy \(B\left( {\dfrac{{ - 5}}{{17}};\dfrac{{37}}{{17}}} \right).\)

Hàm số \(y = mx - 2\) đồng biến\( \Leftrightarrow m > 0\)

Vậy \(m > 0.\)

Chọn A.

Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) nên ta thay tọa độ điểm \(A\)  vào phương trình đường thẳng  \(\left( {{d_m}} \right)\) ta được:  \(2 = m.1 - 2 \Rightarrow m = 4\)

Khi \(m = 4\) đường thẳng có phương trình \(y = 4x - 2\)

Điều kiện: \(m \ne 0.\)

+) Với \(y = 0 \Rightarrow mx - 2 = 0 \Rightarrow mx = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{m}\)

\( \Rightarrow \left( {{d_m}} \right):y = mx - 2\) với  cắt \(Ox\) tại điểm \(A\left( {\dfrac{2}{m};\,\,0} \right).\)

+) Với \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2 \Rightarrow B\left( {0;\,\, - 2} \right)\) là giao của \(\left( {{d_m}} \right)\) và \(Oy.\)

Khi đó diện tích của tam giác sẽ là:

\(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{2}{m}} \right|.\left| { - 2} \right| = \dfrac{2}{{\left| m \right|}} = 1\\ \Leftrightarrow \left| m \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m = 2\) hoặc \(m =  - 2\) thì đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{m^2}x - {m^4} + 2 = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\\ \Leftrightarrow {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right)x - {m^2}x = {m^4}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2}x = {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = {m^2} + 1\,\,\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\\ \Rightarrow y = {m^2} + 2 \Rightarrow A\left( {{m^2} + 1;{m^2} + 2} \right)\end{array}\)

Gọi H, K  lần lượt là hình chiếu của B, A  lên \(Ox\) nên \(H\left( { - 1;0} \right),K\left( {{m^2} + 1;0} \right)\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABHK}} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {AK + BH} \right)HK}}{2} = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {AK + BH} \right)HK = 15\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4} \right)\left( {{m^2} + 2} \right) = 15\\ \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} + 8 = 15\\ \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\{m^2} + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1 \Rightarrow m =  \pm 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{m^2} =  - 7\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m =  \pm 1.\)