Cho hàm số \(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)\). Đạo hàm \(y' = a.\sin 2x.\cos \left( {\cos 2x} \right)\) . Giá trị của $a$ là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?
$\begin{array}{l}y' = \left[ {\sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)} \right]'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left( {{{\cos }^2}x} \right)'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).\left( {{{\sin }^2}x} \right)'\\y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\cos x\left( {\cos x} \right)'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\y' = - \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\cos x.\sin x.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x.\cos x\\y' = - 2\sin x\cos x\left[ {\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\y' = - \sin 2x.\cos \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\\y' = - \sin 2x.\cos \left( {\cos 2x} \right)\\ \Rightarrow a = - 1 \in \left( { - 3;2} \right)\end{array}$
Hàm số \(y = \sqrt {2x + 5} \) có đạo hàm cấp hai bằng:
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x + 5} \right)'}}{{2\sqrt {2x + 5} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 5} }} = {\left( {2x + 5} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}}\\y'' = - \dfrac{1}{2}.{\left( {2x + 5} \right)^{ - \dfrac{1}{2} - 1}}.\left( {2x + 5} \right)'\\\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{2}{\left( {2x + 5} \right)^{ - \dfrac{3}{2}}}.2\\\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}} = - \dfrac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\end{array}\)
Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) và có hệ số góc nhỏ nhất?
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 \ge - 3\)
\( \Rightarrow y{'_{\min }} = - 3 \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {1;0} \right)\) là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 = - 3x + 3\)
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m + 1\) và có đồ thị \({C_m}\). Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) với đường thẳng \(d:\,\,x = 1\) song song với đường thẳng \(y = - 12x + 4\) là :
Khi $x = 1$ ta có \(y = 1 - 2{m^2} + 2m + 1 = - 2{m^2} + 2m + 2 \Rightarrow \left( {{C_m}} \right) \cap \left( {x = 1} \right) = M\left( {1; - 2{m^2} + 2m + 2} \right)\)
Ta có : \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4 - 4{m^2}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ song song với đường thẳng \(y = - 12x + 4\)
\( \Leftrightarrow y'\left( 1 \right) = - 12 \Leftrightarrow 4 - 4{m^2} = - 12 \Leftrightarrow 4{m^2} = 16 \Leftrightarrow m = \pm 2\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d?$
Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:
$\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} = 0\,\,\,\left( \Delta \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{\left| {6{x_0} - 6} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} = \dfrac{{6\left| {{x_0} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} = 6\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}} \end{array}$
Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {\dfrac{t}{{{t^2} + 9}}} \)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{t}{{{t^2} + 9}}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\)
Có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 9 - t.2t}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - {t^2} + 9}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\)
\(f\left( 3 \right) = \dfrac{3}{{18}} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow d = \sqrt 6 \Rightarrow {d_{max}} = \sqrt 6 \)
