Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d?$

Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:

$\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} = 0\,\,\,\left( \Delta  \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{\left| {6{x_0} - 6} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} = \dfrac{{6\left| {{x_0} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} = 6\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}} \end{array}$

Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {\dfrac{t}{{{t^2} + 9}}} \)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{t}{{{t^2} + 9}}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 9 - t.2t}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - {t^2} + 9}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

\(f\left( 3 \right) = \dfrac{3}{{18}} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow d = \sqrt 6  \Rightarrow {d_{max}} = \sqrt 6 \)