Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & khi\,x \ne 1\\a & khi\,x = 1\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm \(x = 1\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì trước hết \(f\left( x \right)\) phải liên tục tại \(x = 1\)
$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2 = f\left( 1 \right) = a$.
Khi đó $f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} - 2}}{{x - 1}} = 1$.
Vậy \(a = 2\).
Hướng dẫn giải:
- Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì nó phải liên tục tại \(x = 1\) trước. Sử dụng điều kiện này để tìm \(a\).
* Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
- Thay giá trị của \(a\) vừa tìm được vào kiểm tra bằng cách tính đạo hàm của hàm số tại \(x = 1\).
