Bài tập mạch xoay chiều chứa RLC

A - đúng

B, C, D - sai vì tùy loại mạch mà u và i có độ lệch pha khác nhau

Ta có:

+ u_L nhanh pha hơn i một góc \(\dfrac{\pi }{2}\)

+ Cường độ dòng điện cực đại:

\({I_0} = \dfrac{{{U_0}}}{{{Z_L}}} = \dfrac{{{U_0}}}{{\omega L}}\)

=> Biểu thức cường độ dòng điện qua cuộn cảm thuần là:

\(i{\rm{ }} = {\rm{ }}\dfrac{{{U_0}}}{{\omega L}}cos\left( {\omega t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Ta có:

+ Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch chỉ có R:

\(I{\rm{ }} = \frac{U}{R} = \frac{{{U_0}}}{{\sqrt 2 R}}\)

+ Cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch chỉ có R dao động cùng pha với nhau => $\varphi $_i = $\varphi $_u = 0

Từ đồ thị ta có:

+ Chu kì:

\(T = 0,02{\rm{s}} \to \omega {\rm{ = }}\frac{{2\pi }}{T} = 100\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

+ Cường độ dòng điện cực đại:

\({I_0} = 4(A)\)

+ Tại t = 0:

\(i = 4 \leftrightarrow {I_0}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = 4}} \to c{\rm{os}}\varphi {\rm{ = 1}} \to \varphi {\rm{ = 0}}\)

=> Biểu thức cường độ dòng điện tức thời:

\(i = 4c{\rm{os}}\left( {100\pi t} \right)A\)

Ta có tổng trở của mạch: R = R₁ + R₂ = 60Ω

Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch:

\(I{\rm{ }} = \frac{U}{R} = \frac{{120}}{{60}} = 2A\)

Cường độ dòng điện cực đại qua R₁ và R₂ là như nhau và bằng: 

\({I_{01}}{\rm{  = }}{{\rm{I}}_{02}} = {I_0} = \frac{{{U_0}}}{R} = \frac{{120\sqrt 2 }}{{60}} = 2\sqrt 2 A\)

Cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch dao động cùng pha nhau

=> Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch:

\(i = 2\sqrt 2 {\rm{cos100}}\pi t\)

Ta có, cường độ dòng điện cực đại trong mạch:

\({I_0} = \dfrac{{{U_0}}}{R} = \dfrac{{110}}{{55}} = 2A\)

Nhiệt lượng tỏa ra trên R trong 10 phút là:

\(Q = {I^2}Rt = \dfrac{{I_0^2Rt}}{2} = \dfrac{{{2^2}.55.10.60}}{2} = 66000J = 66kJ\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{{0,02}} = 100\pi (ra{\rm{d/s)}}\\R = 60\Omega \\{Z_L} = \omega L = 100\pi \dfrac{{0,2}}{\pi } = 20\Omega \\{Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{100\pi \dfrac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 100\Omega \end{array}\)

Tổng trở của mạch:

\(Z = \sqrt {R_{}^2 + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{60}^2} + {{\left( {20 - 100} \right)}^2}}  = 100\Omega \)

A- sai vì: Cường độ dòng điện trong mạch chỉ có L trễ pha hơn điện áp u

B- đúng

C- sai vì:

\(I = \frac{U}{{{Z_L}}} = \frac{U}{{\omega L}} = \frac{U}{{2\pi fL}}\)

 => cường độ dòng điện tỉ lệ nghịch với L và f

D- sai vì cường độ dòng điện biến thiên điều hòa với tần số f

Ta có:

+ Hiệu điện thế hiệu dụng: \(U = 220V\)

+ Cảm kháng:

\({Z_L} = \omega L = 2\pi fL = 2\pi .50.0,318 = 100\Omega \)

+ Dung kháng:

\({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{2\pi fC}} = \dfrac{1}{{2\pi {{.50.63,6.10}^{ - 6}}}} = 50\Omega \)

+ Tổng trở của mạch: \(Z = \left| {{Z_L} - {Z_C}} \right| = 50\Omega \)

Số chỉ ampe kế chính là cường độ dòng điện hiệu dụng:

\(I = \dfrac{U}{Z} = \dfrac{{220}}{{50}} = 4,4(A)\)

Từ đồ thị ta có:

\(\dfrac{T}{{12}} = 0,01{\rm{s}} \to T = 0,12{\rm{s}} \\\to \omega {\rm{ = }}\dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{50\pi }}{3}(ra{\rm{d}}/s)\)

+ Cường độ dòng điện cực đại:

\({I_0} = 1,2(A)\)

+ Tại \(t = 0\): \(i = 0,6A\) và đang giảm:

\(i = 0,6 \leftrightarrow {I_0}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = 0}}{\rm{,6}} \\\to c{\rm{os}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{{0,6}}{{1,2}} = \dfrac{1}{2} \to \varphi {\rm{ = }}\dfrac{\pi }{3}\)

=> Biểu thức cường độ dòng điện tức thời:

\(i = 1,2c{\rm{os}}\left( {\dfrac{{50\pi }}{3}t + \dfrac{\pi }{3}} \right)A\)

+ Ta có u_L nhanh pha hơn i một góc \(\dfrac{\pi }{2}\)

+ Hiệu điện thế cực đại:

 \({U_0} = {I_0}.{Z_L} = 1,2.50 = 60(V)\)

=> Biểu thức điện áp tức thời giữa hai đầu cuộn cảm:

$u = 60c{\rm{os}}\left( {\dfrac{{50\pi }}{3}t + \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{2}} \right) \\= 60\sin \left( {\dfrac{{50\pi }}{3}t + \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{2}} \right) \\= 60\sin \left( {\dfrac{{50\pi }}{3}t + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right)V$

Ta có, cảm kháng:

\({Z_L} = 2\pi fL\)

 => cảm kháng lớn nếu tần số dòng điện lớn

Ta có :

+ u nhanh pha hơn i một góc 45⁰

+ độ lệch pha giữa u và i được xác định bởi biểu thức :

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\)

\(\begin{array}{l} \to \tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \tan \dfrac{\pi }{4}\\ \to {Z_L} - {Z_C} = R\end{array}\)

Ta có:

\({Z_L} = \omega L = 100\pi \dfrac{{0,2}}{\pi } = 20\Omega \)

\({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{100\pi .\dfrac{{{{10}^{ - 3}}}}{{8\pi }}}} = 80\Omega \)

Độ lệch pha giữa điện áp và cường độ dòng điện trong mạch:

\(\begin{array}{l}\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \dfrac{{20 - 80}}{{60}} =  - 1\\ \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{4}\end{array}\)

Mạch chỉ có cuộn cảm nên điện áp nhanh pha hơn dòng điện góc $\dfrac{\pi}{2}$

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = {U_C}\cos (\omega t + {\varphi _u}) = U\sqrt 2 \cos (\omega t + {\varphi _u})\\i = {I_0}\cos (\omega t + {\varphi _u} - \dfrac{\pi }{2}) = I\sqrt 2 \sin (\omega t + {\varphi _u})\end{array} \right.\\ \to {\left( {\dfrac{u}{{U\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{I\sqrt 2 }}} \right)^2} = 1\\ \leftrightarrow {\left( {\dfrac{u}{U}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{I}} \right)^2} = 2\end{array}\)

Ta có, điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn mạch chậm pha hơn cường độ dòng điện tức thời góc 60⁰

\( \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\)

Mặt khác, ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \tan ( - \dfrac{\pi }{3}) \to {Z_L} - {Z_C} =  - \sqrt 3 R\\ \to {Z_C} = {Z_L} + \sqrt 3 R = 50 + \sqrt 3 .10\sqrt 3  = 80\Omega \end{array}\)

Ta có:

\(u = 100\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)V\) và \(i = 5\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)A\)

=> Độ lệch pha giữa u và i:

\(\varphi  = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} > 0\)

Mặt khác, ta có:

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\)

=> Mạch có thể chứa R, L, C trong đó Z_L > Z_C hoặc mạch chỉ chứa R và L

Khi trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện thì: \(Z_L=Z_C\)

=> điện áp giữa hai đầu đoạn mạch cùng pha với cường độ dòng điện trong mạch

Ta có: Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch:

\(I = \dfrac{U}{{{Z_C}}} = \dfrac{U}{{\dfrac{1}{{\omega C}}}} = U\omega C = \dfrac{{{U_0}}}{{\sqrt 2 }}\omega C\)

Dung kháng của mạch là :

\({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{2\pi .50.\dfrac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 100\Omega \)

Áp dụng hệ thức liên hệ ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{{u_C}}}{{{U_{0C}}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1 \leftrightarrow {\left( {\frac{{100\sqrt {10} }}{{100{I_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1 \leftrightarrow \dfrac{{10}}{{I_0^2}} + \dfrac{2}{{I_0^2}} = 1\\ \to {I_0} = 2\sqrt 3 A \to {U_{0C}} = {I_0}{Z_C} = 200\sqrt 3 V \to {U_C} = \dfrac{{{U_{0C}}}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{200\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = 100\sqrt 6 V\end{array}\)

Khi mắc ampe kế vào E,F ta đo được cường độ dòng điện chạy trong mạch :

\(I = \frac{U}{{2{Z_L}}} \Rightarrow {Z_L} = \frac{U}{{2I}}\)

Khi mắc Vôn kế vào E, F thì ta đo được hiệu điện thế giữa hai điểm E, F tức là A, B (vì vôn kế lý tưởng và mạch thuần cảm). Vậy là U = 11,95V.

Lại có :

\(I = \frac{U}{{2{Z_L}}} \Rightarrow {Z_L} = \frac{U}{{2I}} = \frac{{11,95}}{{2.3,8}} = 1,{572_{}}\Omega \)

Từ công thức tính cảm kháng ta có :

\(L = \frac{{{Z_L}}}{\omega } = \frac{{1,572}}{{100\pi }} = {5.10^{ - 3}}H = 5mH\)