Chọn câu đúng.
+) $\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{5^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{3^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{5^2}}}{{{3^2}}} = \dfrac{{25}}{9}$ nên A sai, B đúng.
+) $\dfrac{{4{x^3} + 4x^2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{4x^2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{4x^2}}{{x - 1}}$ nên C sai.
+) $\dfrac{{{b^2} + b}}{{a + ab}} = \dfrac{{b\left( {b + 1} \right)}}{{a\left( {1 + b} \right)}} = \dfrac{b}{a}$ nên D sai.
Chọn câu sai.
Ta có $\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{{x\left( {2y - x} \right)}}{{y\left( {2y - x} \right)}} = \dfrac{x}{y}$ nên A đúng.
+) $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 3x + 4x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ nên B đúng.
+) $\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} + 3x + 9}}$ nên C sai.
+) $\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{{5x{y^2}.5}}{{5x{y^2}.8{x^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$ nên D đúng.
Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}\) ta được phân thức có tử là
Ta có \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}} = \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b - c}}{1}\).
Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}}\) ta được phân thức có mẫu là
Ta có \(\dfrac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}} = \dfrac{{x\left( {x - y} \right) - \left( {x - y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)}}\)\( = \dfrac{{x - y}}{{x + y}}\) .
Vậy mẫu thức của phân thức đã rút gọn là $x + y$ .
Tìm $x$ biết ${a^2}x - ax + x = {a^3} + 1$
Ta có ${a^2}x - ax + x = {a^3} + 1$\( \Leftrightarrow x\left( {{a^2} - a + 1} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right) \Leftrightarrow x = a + 1\) vì \({a^2} - a + 1 = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ne 0,\,\forall a\) .
Vậy $x = a + 1$ .
Rút gọn phân thức $\dfrac{{{{\left( {{a^4} - {b^4}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$ ta được :
Ta có $\dfrac{{{{\left( {{a^4} - {b^4}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$$ = \dfrac{{{{\left[ {\left( {{a^2} - {b^2}} \right).\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \right]}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}} = \dfrac{{{{\left[ {\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right).\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \right]}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$
\( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}{{\left( {a + b} \right)}^3}.{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}\) .
Giá trị biểu thức \(A = \dfrac{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\) là
Ta có \(A = \dfrac{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \dfrac{{2x - 4}}{{x + 2}}\)
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào \(A = \dfrac{{2x - 4}}{{x + 2}}\) ta được \(A = \dfrac{{2.\dfrac{1}{2} - 4}}{{\dfrac{1}{2} + 2}} = \dfrac{-3}{{\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{-6}{5}\) . Vậy \(x = \dfrac{1}{2}\) thì $A = \dfrac{-6}{5}$ .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 6}}\).
Ta có \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 6}}\)\( = \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1 + 5}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 5}}\)
Mà \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 \ge 5,\,\forall x\) . Dấu “=” xảy ra khi \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
nên GTNN của \({\left( {x + 1} \right)^2} + 5\) là \(5\) khi \(x = - 1\) .
Ta có \(P\) đạt GTLN \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\) đạt GTNN.
Hay GTLN của \(P\) là \(\dfrac{1}{5} \Leftrightarrow x = - 1\) .
Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Với \({x^2} + 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\) . Ta có
\(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 1}}\) \( = 1 - \dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{{x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}} + 1 = {\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\)
Ta có \({\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\) với mọi \(x \ne - 1\). Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {TM} \right)\) .
Nên GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = 1\) .
Cho \(P = \dfrac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\). Kết luận nào sau đây là đúng.
Ta có \(P = \dfrac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + a{x^2} + a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}{{{x^2} - a{x^2} - a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {{x^2} + a{x^2} + {a^2}{x^2}} \right) + \left( {a + {a^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - a{x^2} + {a^2}{x^2}} \right) + \left( {{a^2} - a + 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{{{x^2}\left( {1 + a + {a^2}} \right) + \left( {1 + a + {a^2}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 - a + {a^2}} \right) + \left( {1 - a + {a^2}} \right)}} = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}} = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\)
Vậy \(P = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\) không phụ thuộc vào \(x\) .
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{3}{{x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.
Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\) .
Ta có \(\dfrac{3}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 2 \in \)Ư\(\left( 3 \right)\) \( = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) .
+ $x + 2 = - 1 \Leftrightarrow x = - 3\,\,\left( {TM} \right)$
+ \(x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1\,\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 2 = - 3 \Leftrightarrow x = - 5\,\left( {TM} \right)\)
+ $x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {TM} \right)$
Vậy \(x \in \left\{ { - 1;1; - 5; - 3} \right\}\) .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}}\) có giá trị nguyên?
Điều kiện: \(2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{1}{2}\) .
Ta có \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}} = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right) + 7}}{{2x + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right)}}{{2x + 1}} + \dfrac{{2x + 1}}{{2x + 1}} + \dfrac{7}{{2x + 1}} = {x^2} + 1 + \dfrac{7}{{2x + 1}}\)
Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {x^2} + 1 \in \mathbb{Z}\) nên để phân thức trên đạt giá trị nguyên thì \(\dfrac{7}{{2x + 1}} \in \mathbb{Z} \)
\(\Rightarrow 2x + 1 \in \) Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ { - 7; - 1;1;7} \right\}\)
+) \(2x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = 7 \Leftrightarrow x = 3\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = - 7 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\)
Vậy có \(4\) giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \(0;\, - 1;\,3;\, - 4\) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}\).
Ta có: \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} + 7}}\)\( = \dfrac{{18}}{{ - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 8}} = \dfrac{{18}}{{8 - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
Ta có: \(Q\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) đạt GTLN.
Mà \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 8,\,\forall x\) . Dấu “=” xảy ra khi \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
nên GTLN của \(8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) là \(8\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\).
Hay GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{{18}}{8} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).
Rút gọn phân thức \(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}\) ta được:
\(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 5x + 6)}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 2x - 3x + 6)}}\)\( = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x{\rm{[}}x(x - 2) - 3(x - 2){\rm{]}}}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x(x - 2)(x - 3)}}\)
Điều kiện: \(x \ne \left\{ {0;2;3} \right\}\)
Nếu \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\) thì \(|x - 2| = x - 2 \Rightarrow B = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}.\)
Nếu \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\) thì \(|x - 2| = 2 - x \Rightarrow B = \dfrac{{x(2 - x)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(3 - x)}} = \dfrac{1}{{3 - x}}.\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2;x \ne 3\) và \(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2;x \ne 0\).
Tính giá trị biểu thức \(M = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - \left( {1 + 2xy} \right)}}{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2x}}\) tại \(x = 99\) và $y = 100$ .
Ta có \(M = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - \left( {1 + 2xy} \right)}}{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2x}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 2xy - 1}}{{{x^2} + 2x + 1 - {y^2}}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {y^2}}} = \dfrac{{\left( {x - y + 1} \right)\left( {x - y - 1} \right)}}{{\left( {x + 1 - y} \right)\left( {x + 1 + y} \right)}} = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\)
Vậy \(M = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\) .
Thay \(x = 99\) và $y = 100$ vào \(M = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\) ta được \(M = \dfrac{{99 - 100 - 1}}{{99 + 1 + 100}} = \dfrac{{ - 2}}{{200}} = \dfrac{{ - 1}}{{100}}\) .
Cho \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(a + b + c + d = 0;ab + ac + bc = 1\). Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{3\left( {ab - cd} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\).
Ta có: \(a + b + c + d = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - d\)
Khi đó \(ab - cd = ab + c\left( {a + b + c} \right) \)\(= ab + ac + bc + {c^2} = {c^2} + 1\) (vì \(ab + bc + ca = 1\))
Tương tự ta có \(bc - ad = bc + a\left( {a + b + c} \right) \)\(= {a^2} + bc + ab + ac = {a^2} + 1\)
\(ca - bd = ca + b\left( {a + b + c} \right) \)\(= {b^2} + ac + ab + bc = {b^2} + 1\)
Từ đó \(P = \dfrac{{3\left( {ab - cd} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{3\left( {{c^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}} = 3\)
Vậy \(P = 3.\)
Tính giá trị của phân thức \(C = \dfrac{{{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc}}{{{{(a + b)}^2} + {{(b + c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}\) khi \(a + c - b = 10\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc\\ = ({a^3} + {c^3} + 3{a^2}c + 3a{c^2}) - 3{a^2}c - 3a{c^2} + 3abc - {b^3}\\ = {(a + c)^3} - {b^3} - 3ac(a + c - b)\\ = (a + c - b)\left[ {{{(a + c)}^2} + b(a + c) + {b^2}} \right] - 3ac(a + c - b)\\ = (a + c - b)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)\\{(a + b)^2} + {(b + c)^2} + {(c - a)^2}\\ = ({a^2} + 2ab + {b^2}) + ({b^2} + 2bc + {c^2}) + ({c^2} - 2ac + {a^2})\\ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 2ab + 2bc - 2ac\\ = 2({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)\\ \Rightarrow C = \dfrac{{(a + c - b)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)}}{{2({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)}} = \dfrac{{a + c - b}}{2}\end{array}\)
Mà \(a + c - b = 10\) nên \(C = \dfrac{{a + c - b}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5.\)
Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c.\) Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
Ta có: \(a + b = c \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = - 2ab\)
\(a + b = c \Leftrightarrow a - c = - b \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = {\left( { - b} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 2ac + {c^2} = {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = 2ac\)
\(a + b = c \Leftrightarrow c - b = a \Leftrightarrow {\left( {c - b} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow {c^2} - 2bc + {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\)
Từ đó \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\)\( = \dfrac{{ - 2ab.2bc.2ac}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = \dfrac{{ - 8{a^2}{b^2}{c^2}}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = - 1\).
