Câu hỏi:
2 năm trước
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}}\) có giá trị nguyên?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Điều kiện: \(2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{1}{2}\) .
Ta có \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}} = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right) + 7}}{{2x + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right)}}{{2x + 1}} + \dfrac{{2x + 1}}{{2x + 1}} + \dfrac{7}{{2x + 1}} = {x^2} + 1 + \dfrac{7}{{2x + 1}}\)
Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {x^2} + 1 \in \mathbb{Z}\) nên để phân thức trên đạt giá trị nguyên thì \(\dfrac{7}{{2x + 1}} \in \mathbb{Z} \)
\(\Rightarrow 2x + 1 \in \) Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ { - 7; - 1;1;7} \right\}\)
+) \(2x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = 7 \Leftrightarrow x = 3\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = - 7 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\)
Vậy có \(4\) giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \(0;\, - 1;\,3;\, - 4\) .
Hướng dẫn giải:
- Tìm điều kiện xác định.
- Ta biến đổi để đưa phân thức về dạng \(M\left( x \right) + \dfrac{n}{B}\) .
- Phân thức \(\dfrac{n}{B}\) đạt giá trị nguyên khi \(n \vdots B\) , từ đó tìm được \(x\) .
- So sánh với điều kiện để kết luận các giá trị thỏa mãn.
Giải thích thêm:
Một số do xác định thiếu ước của \(7\) nên thiếu giá trị của \(x\) .
