Câu hỏi:
2 năm trước
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 6x + 15}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\).
Ta có: \(\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 6x + 15}}{{x + 2}} = \dfrac{{{x^2}\left( {x + 2} \right) + 6x + 12 + 3}}{{x + 2}} = \dfrac{{{x^2}\left( {x + 2} \right) + 6\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} + \dfrac{3}{{x + 2}}\)\( = \dfrac{{\left( {{x^2} + 6} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} + \dfrac{3}{{x + 2}}\)
\( = {x^2} + 6 + \dfrac{3}{{x + 2}}\)
Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {x^2} + 6 \in \mathbb{Z}\) nên để phân thức trên đạt giá trị nguyên thì \(\dfrac{3}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 2 \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3; - 1;1;3} \right\}\)
+ \(x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 2 = - 1 \Leftrightarrow x = - 3\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 2 = - 3 \Leftrightarrow x = - 5\,\left( {TM} \right)\)
Vậy có \(4\) giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \( - 1;\, - 3;\,1;\, - 5\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm điều kiện xác định.
- Ta biến đổi để đưa phân thức về dạng \(M\left( x \right) + \dfrac{n}{B}\).
- Phân thức \(\dfrac{n}{B}\) đạt giá trị nguyên khi \(n \vdots B\), từ đó tìm được \(x\).
- So sánh với điều kiện để kết luận các giá trị thỏa mãn.
Giải thích thêm:
Một số do xác định thiếu ước của \(3\) nên thiếu giá trị của \(x\).
