Biểu thức $M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}$ đạt giá trị lớn nhất là:

Với ${x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 2$. Ta có:

 $M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}$$= \dfrac{{{x^2} + 4x + 4 + x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} + \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$ $= 1 + \dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

$= 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} =  - \left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{5}{4}$ $= \dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Ta có: ${\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \ne  - 2$. Suy ra $\dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{5}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {TM} \right)$.

Nên GTLN của $Q$ là $\dfrac{5}{4} \Leftrightarrow x = 0$.