Biểu thức \(M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}\) đạt giá trị lớn nhất là:

Với \({x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 2\). Ta có:

 \(M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4 + x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} + \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) \( = 1 + \dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\( = 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} =  - \left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{5}{4}\) \( = \dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)

Ta có: \({\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ne  - 2\). Suy ra \(\dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{5}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {TM} \right)\).

Nên GTLN của \(Q\) là \(\dfrac{5}{4} \Leftrightarrow x = 0\).