Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Với \({x^2} + 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\) . Ta có

 \(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 1}}\) \( = 1 - \dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{{x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}} + 1 = {\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\)

Ta có  \({\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\) với mọi \(x \ne  - 1\). Dấu  “=” xảy ra khi \(\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {TM} \right)\) .

Nên GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = 1\) .