Bài tập ôn tập chương 7

Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $DC$, $AC$. Vì $G$ là trọng tâm tứ diện nên $G$ là giao điểm của ba đoạn thẳng nối hai trung điểm của cặp cạnh đối của tứ diện như hình vẽ trên.

Xét $\left( {ABM} \right)$: $AG \cap BM = {G_1}$, $BG \cap AM = {G_2}$. Trong $\Delta ACD$ có $AM$ và $DN$ là đường trung tuyến nên ${G_2}$ là trọng tâm của tam giác do đó $\dfrac{{{G_2}M}}{{{G_2}A}} = \dfrac{1}{2}$.

Tương tự ta cũng có $\dfrac{{{G_1}M}}{{{G_1}B}} = \dfrac{1}{2}$ suy ra ${G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB$.

Gọi $E$ là trung điểm của $BB'$. Khi đó:$EM{\kern 1pt} \;{\rm{//}}\;B'C$ $\Rightarrow B'C{\kern 1pt} \;{\rm{//}}\;(AME)$

Ta có: $d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AME} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AME} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AME} \right)} \right)$

Xét khối chóp $BAME$ có các cạnh $BE$, $AB$, $BM$ đôi một vuông góc với nhau nên

$\dfrac{1}{{{d^2}\left( {B,\left( {AME} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{M{B^2}}} + \dfrac{1}{{E{B^2}}}$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{d^2}\left( {B,\left( {AME} \right)} \right)}} = 7{a^2}$$\Leftrightarrow {d^2}\left( {B,\left( {AME} \right)} \right) = \dfrac{{{a^2}}}{7}$

$\Leftrightarrow d\left( {B,\left( {AME} \right)} \right) = \dfrac{a}{{\sqrt 7 }}$.

Hình ở TH1: Trong $\left( {BCD} \right)$: Kẻ $FM$ cắt $CD$ tại $H$. Thiết diện là tam giác $EFH$.

Hình ở TH2:

Trong $\left( {BCD} \right)$: Kẻ $FM$ cắt $BD$ tại $I$, cắt $CD$ tại $H$.

Trong $\left( {ACD} \right)$: Kẻ $HE$ cắt $AD$ tại $K$.

Thiết diện là tứ giác $EFIK$.

Hình ở TH3:

Trong $\left( {BCD} \right)$: Kẻ $FM$ cắt $BD$ tại $I$, cắt $CD$ tại $H$.

Trong $\left( {ACD} \right)$: Kẻ $HE$ cắt $AD$ tại $K$.

Thiết diện là tứ giác $EFIK$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {BB'C'C} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {AA'D'D} \right)\\\left( {MNP} \right) \cap \left( {BB'C'C} \right) = NP\\\left( {MNP} \right) \cap \left( {AA'D'D} \right) = MQ\end{array} \right. \Rightarrow NP\,{\rm{//}}\,MQ$.

Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {CC'D'D} \right)\\\left( {MNP} \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = MN\\\left( {MNP} \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = PQ\end{array} \right. \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,PQ$

Suy ra mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành $MNPQ$.

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}BN = \dfrac{1}{3}BB' = \dfrac{1}{3}AA'\\AM = \dfrac{2}{3}AA'\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{BN}}{{AM}} = \dfrac{1}{2}$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$, gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $MN$ và $AB$ thì $BN$ là đường trung bình của tam giác $AME$ $\Rightarrow N$ là trung điểm của đoạn thẳng $ME$.

Trong mặt phẳng $\left( {MNPQ} \right)$, gọi $F$ là giao điểm của $EP$ và $MQ$ thì $NP$ là đường trung bình của tam giác $MEF$ (vì $NP\,{\rm{//}}\,MQ$ và $N$ là trung điểm $EM$) $\Rightarrow NP = \dfrac{1}{2}MF$

Mà tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành nên $NP = MQ \Rightarrow Q$ là trung điểm $MF$ hay $\dfrac{{FQ}}{{FM}} = \dfrac{1}{2}$

Lại có $D'Q\,{\rm{//}}\,A'M \Rightarrow \dfrac{{D'Q}}{{A'M}} = \dfrac{{FQ}}{{FM}} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{D'Q}}{{\dfrac{1}{3}AA'}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{D'Q}}{{DD'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$

Ta có: $M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AC = 3MC$. Nên $M$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.

Gọi $O$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $DD'$. Khi đó ta có: $BD'\;{\rm{//}}\;\left( {IAC} \right)$.

Trong $\left( {CDD'C'} \right)$, gọi $N' = CI \cap C'D$. Suy ra $N'$ là trọng tâm tam giác $CDD'$.

Do đó: $\dfrac{{CM}}{{CO}} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{{CN'}}{{CI}}$ $\Rightarrow MN'\;{\rm{//}}\;OI$, mà $OI\;{\rm{//}}\;BD'$ nên $MN'\;{\rm{//}}\;BD'$.

Vậy $N' \equiv N$ và $x = \dfrac{2}{3}$