Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\) và đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. kẻ \(AH \bot SC,H \in SC\). Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (ABCD) bằng
Ta có:
\(\begin{array}{l}AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow SC = 3a\\HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{SC}} = \dfrac{{8a}}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{SC}} = \dfrac{8}{9}\end{array}\)
Khi đó \(\dfrac{{d\left( {H,\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{HC}}{{SC}} = \dfrac{8}{9} \Rightarrow d\left( {H,\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{{8a}}{9}\)
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA'\) (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) bằng
Trong \(\left( {ABB'A'} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(BM\) và \(AB'\).
Khi đó hai tam giác \(EAM\) và \(EB'B\) đồng dạng.
\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right)}} = \dfrac{{EM}}{{EB}} = \dfrac{{MA}}{{BB'}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right)\).
Từ \(B\) kẻ \(BN \bot AC\) thì \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(BB' = a\).
Kẻ \(BI \bot B'N\) thì \(d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = BI\)\( = \dfrac{{BB'.BN}}{{\sqrt {B{{B'}^2} + B{N^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
