Hàm số \(y = {\tan ^2}\dfrac{x}{2}\) có đạo hàm là:
Bước 1:
$\begin{array}{l}
\left( {{{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)' = 2\tan \dfrac{x}{2}\left( {\tan \dfrac{x}{2}} \right)'\\
\end{array}$
Bước 2:
$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$
$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{\dfrac{1}{2}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$
Đạo hàm của hàm số \(y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)'\) là:
\(\begin{array}{l}y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)' = \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Rightarrow y' = \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)'\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)'\\y' = \left( {18{x^2} + 2x - 2} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\\y' = \sin x\left( {18{x^2} + 2x - 2 - 6{x^3} - {x^2} + 2x} \right) + \cos x\left( {18{x^2} + 2x - 2 + 6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\\y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) + \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) ta được:
Với \(x > 1\) ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Với \(x < 1\) ta có : \(f\left( x \right) = 2x + 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2\)
Với $x = 1$ ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = - 1 \ne f\left( 1 \right) = 4 \) \(\Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại $x = 1,$ do đó không có đạo hàm tại $x = 1.$
Vậy \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
Tìm $m$ để hàm số \(y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\) có \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\\ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1\\y' \le 0,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0,\forall x \in R\end{array}\)
TH1: $m = 0,$ khi đó \(BPT \Leftrightarrow - 1 \le 0\) , đúng \(\forall x \in R\)
TH2: $\begin{array}{l}m \ne 0 \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = {m^2} - m\left( {3m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 2{m^2} + m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \end{array}$ $\Leftrightarrow m < 0$
Kết hợp cả 2 trường hợp ta có \(m \le 0\) là những giá trị cần tìm.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x}\) bằng :
Bước 1:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 3x}}{x}\)
Bước 2:
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3.\sin 3x}}{{3x}} = 1 - 3 = - 2\).
Cho \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm. Khẳng định nào sau đây sai
\({\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{uv - vu}}{{{v^2}}}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = x + {\sin ^2}x\) là
\(y' = x' + \left( {{{\sin }^2}x} \right)'\)\( = 1 + 2.\sin x.\cos x = 1 + \sin 2x\)
Đạo hàm của hàm số \(y = {(5x - 1)^2}\) là
\(y' = 2.(5x-1)'.(5x-1)\)\(=2.5.\left( {5x - 1} \right) = 50x - 10\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^2}}}\) là
Bước 1:
\(\dfrac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 2}}\)
Bước 2:
\( \Rightarrow y' = \left( {{x^{ - 2}}} \right)' = - 2.{x^{ - 3}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x^3}}}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = 2\sin x - 3\cos x\) là
\(y' = \left( {2\sin x - 3\cos x} \right)'\)
$=\left( {2\sin x} \right)'-\left( {3\cos x} \right)'$
$=2(\sin x)'-3(\cos x)'$
\( = 2.\cos x + 3\sin x\)
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = 2x + 4\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(g(x) = 2f(x) + 3x - 1\) có đạo hàm là
\(g'\left( x \right) = 2.f'\left( x \right) + 3\)\( = 2.\left( {2x + 4} \right) + 3 = 4x + 11\)
Cho hàm số \(f(x) = {(2x - 1)^3}\). Giá trị của \({f^\prime }(1)\) bằng
Bước 1:
Ta có:\(f'\left( x \right) = 3.\left( {2x - 1} \right)'.{\left( {2x - 1} \right)^2}\)\( = 3.2.{\left( {2x - 1} \right)^2} = 6.{\left( {2x - 1} \right)^2}\)
Bước 2:
\(f'\left( 1 \right) = 6.{\left( {2.1 - 1} \right)^2} = 6.1 = 6\)
Khẳng định nào sau đây sai
\(\left( {\dfrac{1}{x}} \right)' = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
=> Đáp án A sai.
Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x - \cot x\) là
\(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} \)\(=\dfrac{{{\sin }^2}x+{{\cos }^2}x}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}\)\(= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = (3x - 1)\sqrt {{x^2} + 1} \)
Bước 1:
\(y' = \left( {3x - 1} \right)'.\sqrt {{x^2} + 1} \)\( + \left( {3x - 1} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l} = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)
Bước 3:
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{3.\left( {{x^2} + 1} \right) + 3{x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{6{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)
Cho hàm số \(y = \sqrt {10x - {x^2}} \). Giá trị của \(y'\left( 2 \right)\) bằng
Bước 1:
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{{{\left( {10x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }} = \dfrac{{10 - 2x}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }}\\ = \dfrac{{5 - x}}{{\sqrt {10x - {x^2}} }}\end{array}\)
Bước 2:
Thay \(x = 2\) vào \(y'\):
\(y'(2) = \dfrac{{5 - 2}}{{\sqrt {10 \cdot 2 - {2^2}} }} = \dfrac{3}{4}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) Xét các hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)\) và \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {4x} \right)\). Biết rằng \(g'\left( 1 \right) = 21\) và \(g'\left( 2 \right) = 1000\). Tính \(h'\left( 1 \right)\)
Bước 1:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\\h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}g'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 21\\g'\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\\ \Rightarrow 2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\\h'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right)\\ = g'\left( 1 \right) + 2g'\left( 2 \right) = 2021\end{array}\)
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( 1 \right) = 3\) và \(g'\left( 1 \right) = 1.\) Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 1\) bằng
\({[f(x) - g(x)]^\prime } = {f^\prime }(1) - g(1) = 3 - 1 = 2\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên trục trên \(\mathbb{R}\) , \(f'\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm \(x = 1;x = 2\) . Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\) , có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 21;21} \right]\) để phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có nhiều nghiệm nhất?
Bước 1:
\(\begin{array}{l}f'(1) = f'(2) = 0\\g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}g'(x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right) = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình
\(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - m = 1\\{x^2} + 4x - m = 2\end{array} \right.\) đều có 2 nghiệm.
Bước 3:
\({x^2} + 4x - m = 1\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta ' = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5\)
\({x^2} + 4x - m = 2\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta ' = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m > - 6\)
Vậy \(m > - 5\)
Bước 4:
Mà \(m \in \left[ { - 21;21} \right]\) nên \(m\) là các số nguyên từ -4 đến 21.
Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S = - \dfrac{1}{3}{t^3} + 6{t^2}\), trong đó \(t > 0,t\) được tính bằng giây \((s)\) và \(S\) tính bằng mét \((m)\). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 3\) (giây) bằng
Bước 1:
Vận tốc \(v\left( t \right)\) là đạo hàm của hàm S=S(t).
\( \Rightarrow v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 12t\)
Bước 2:
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 3\) (giây) bằng:
\( \Rightarrow v\left( 3 \right) = - 9 + 36 = 27m/s\)
