Các quy tắc tính đạo hàm

Bước 1:

$\begin{array}{l} \left( {{{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)' = 2\tan \dfrac{x}{2}\left( {\tan \dfrac{x}{2}} \right)'\\  \end{array}$

Bước 2:

$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$

$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{\dfrac{1}{2}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$

$\begin{array}{l}y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)' = \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Rightarrow y' = \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)'\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)'\\y' = \left( {18{x^2} + 2x - 2} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\\y' = \sin x\left( {18{x^2} + 2x - 2 - 6{x^3} - {x^2} + 2x} \right) + \cos x\left( {18{x^2} + 2x - 2 + 6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\\y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) + \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\end{array}$

Với $x > 1$ ta có: $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 3$

Với $x < 1$ ta có : $f\left( x \right) = 2x + 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2$

Với $x = 1$ ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) =  - 1 \ne f\left( 1 \right) = 4$ $\Rightarrow$ Hàm số không liên tục tại $x = 1,$ do đó không có đạo hàm tại $x = 1.$

Vậy $f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\\ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1\\y' \le 0,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0,\forall x \in R\end{array}$

TH1: $m = 0,$ khi đó $BPT \Leftrightarrow  - 1 \le 0$ , đúng $\forall x \in R$

TH2: $\begin{array}{l}m \ne 0 \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = {m^2} - m\left( {3m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 2{m^2} + m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \end{array}$ $\Leftrightarrow m < 0$

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có $m \le 0$ là những giá trị cần tìm.

Bước 1:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 3x}}{x}$

Bước 2:

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3.\sin 3x}}{{3x}} = 1 - 3 =  - 2$.

${\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{uv - vu}}{{{v^2}}}$

$y' = x' + \left( {{{\sin }^2}x} \right)'$$= 1 + 2.\sin x.\cos x = 1 + \sin 2x$

$y' = 2.(5x-1)'.(5x-1)$$=2.5.\left( {5x - 1} \right) = 50x - 10$

Bước 1:

$\dfrac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 2}}$

Bước 2:

$\Rightarrow y' = \left( {{x^{ - 2}}} \right)' =  - 2.{x^{ - 3}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x^3}}}$

$y' = \left( {2\sin x - 3\cos x} \right)'$

$=\left( {2\sin x} \right)'-\left( {3\cos x} \right)'$

$=2(\sin x)'-3(\cos x)'$

$= 2.\cos x + 3\sin x$

$g'\left( x \right) = 2.f'\left( x \right) + 3$$= 2.\left( {2x + 4} \right) + 3 = 4x + 11$

Bước 1:

Ta có:$f'\left( x \right) = 3.\left( {2x - 1} \right)'.{\left( {2x - 1} \right)^2}$$= 3.2.{\left( {2x - 1} \right)^2} = 6.{\left( {2x - 1} \right)^2}$

Bước 2:

$f'\left( 1 \right) = 6.{\left( {2.1 - 1} \right)^2} = 6.1 = 6$

$\left( {\dfrac{1}{x}} \right)' =  - \dfrac{1}{{{x^2}}}$

=> Đáp án A sai.

$y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$$=\dfrac{{{\sin }^2}x+{{\cos }^2}x}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}$$= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}$

Bước 1:

$y' = \left( {3x - 1} \right)'.\sqrt {{x^2} + 1}$$+ \left( {3x - 1} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'$

Bước 2:

$\begin{array}{l} = 3.\sqrt {{x^2} + 1}  + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = 3.\sqrt {{x^2} + 1}  + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = 3.\sqrt {{x^2} + 1}  + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}$

Bước 3:

$\begin{array}{l} = \dfrac{{3.\left( {{x^2} + 1} \right) + 3{x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{6{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}$

Bước 1:

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{{{\left( {10x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }} = \dfrac{{10 - 2x}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }}\\ = \dfrac{{5 - x}}{{\sqrt {10x - {x^2}} }}\end{array}$

Bước 2:

Thay $x = 2$ vào $y'$:

$y'(2) = \dfrac{{5 - 2}}{{\sqrt {10 \cdot 2 - {2^2}} }} = \dfrac{3}{4}$

Bước 1:

$\begin{array}{l}g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\\h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)\end{array}$

Bước 2:

$\begin{array}{l}g'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 21\\g'\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\\ \Rightarrow 2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\\h'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right)\\ = g'\left( 1 \right) + 2g'\left( 2 \right) = 2021\end{array}$

${[f(x) - g(x)]^\prime } = {f^\prime }(1) - g(1) = 3 - 1 = 2$

Bước 1:

$\begin{array}{l}f'(1) = f'(2) = 0\\g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\end{array}$

Bước 2:

$\begin{array}{l}g'(x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right) = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}$

(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình

$\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - m = 1\\{x^2} + 4x - m = 2\end{array} \right.$ đều có 2 nghiệm.

Bước 3:

${x^2} + 4x - m = 1$ có 2 nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m >  - 5$

${x^2} + 4x - m = 2$ có 2 nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m >  - 6$

Vậy $m >  - 5$

Bước 4:

Mà $m \in \left[ { - 21;21} \right]$ nên $m$ là các số nguyên từ -4 đến 21.

Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.

Bước 1:

Vận tốc $v\left( t \right)$ là đạo hàm của hàm S=S(t).

$\Rightarrow v\left( t \right) = S'\left( t \right) =  - {t^2} + 12t$

Bước 2:

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 3$ (giây) bằng:

$\Rightarrow v\left( 3 \right) =  - 9 + 36 = 27m/s$