Bài tập hay và khó chương đường tròn

$AM,AN$ là các tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$, gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $MN$.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $AM = AN;\,OM = ON$  nên $AO$  là đường trung trực của đoạn $MN.$

Suy ra $AO \bot MN.$

Ta có tam giác $AHE$ đồng dạng với tam giác $ADO$ (vì $\widehat {AHE} = \widehat {ADO} = 90^\circ ;\widehat {DAO}$ chung)

nên $AE.AD = AH.AO$. (1)

Cũng theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $AMO$  ta có: $AH.AO = A{M^2}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE.AD = A{M^2}.$

Vẽ đường kính $AD$ của đường tròn $\left( O \right)$, suy ra $\widehat {ACD} = {90^0}$  (vì tam giác $ACD$ có ba đỉnh thuộc đường tròn và $AD$ là đường kính)

Xét $\Delta HBA$ và $\Delta CDA$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {ACD}\left( { = {{90}^0}} \right);\widehat {HBA} = \widehat {CDA}$ (góc nội tiếp cùng chắn ),

Do đó $\Delta HBA \backsim \Delta CDA \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AB.AC = AD.AH$. Mà $AD = 2R$.

Do đó $AB.AC = 2R.AH$.

Ta có: $AE,BF$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AE \bot BC,\,\,BF \bot AC$.

$\Rightarrow \angle AEB = \angle AFB = {90^0}$.

$\Rightarrow ABEF$ nội tiếp một đường tròn đường kính AB(tứ giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)

 Gọi $D$ là giao điểm của $OC$ và $EF$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\angle ACO + \angle CAO = {180^0} - \angle AOC\\\angle ACO = \angle CAO\end{array} \right.$ (do tam giác $OAC$ cân tại $O$).

$\Rightarrow \angle ACO = \angle CAO = {90^0} - \dfrac{1}{2}\angle AOC\,\,\,\left( 1 \right)$

Mà $\angle AOC = 2\angle ABC$  (2) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $AC$).

       $\angle ABC = \angle DFC$  (3)  (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp $ABEF$).

Từ (1), (2), (3) ta được:

$\begin{array}{l}\angle ACO = {90^0} - \angle ABC = {90^0} - \angle DFC \Rightarrow \angle ACO + \angle DFC = {90^0}\\ \Rightarrow \angle FDC = {90^0}\end{array}$

Vậy $OC \bot EF$.