Trong một môn học, Thầy giáo có $30$ câu hỏi khác nhau gồm $5$ câu khó, $10$ câu trung bình và $15$ câu dễ. Từ $30$ câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm $5$ câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả $3$ câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn $2$ ?
Ta có các trường hợp sau
TH 1: Đề thi gồm $2 D, 2 TB, 1 K:$ \(C_{15}^2.C_{10}^2.C_5^1\)
TH 2: Đề thi gồm $2 D, 1 TB, 2 K:$ \(C_{15}^2.C_{10}^1.C_5^2\)
TH 3: Đề thi gồm $3 D, 1 TB, 1 K:$ \(C_{15}^3.C_{10}^1.C_5^1\)
Vậy có: \(C_{15}^2.C_{10}^2.C_5^1+C_{15}^2.C_{10}^1.C_5^2+C_{15}^3.C_{10}^1.C_5^1=56875\) đề kiểm tra.
Có $3$ chiếc hộp. Hộp $A$ chứa $3$ bi đỏ, $5$ bi trắng. Hộp $B$ chứa $2$ bi đỏ, \(2\) bi vàng. Hộp $C$ chứa $2$ bi đỏ, $3$ bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi từ hộp đó. Xác suất để được một bi đỏ là
Xác suất lấy được \(1\) hộp bi trong \(3\) hộp bi là: \(\dfrac{1}{3}\)
Xác suất lấy được \(1\) bi đỏ trong hộp \(A\) là \(\dfrac{{C_3^1}}{{C_8^1}} = \dfrac{3}{8}\)
Xác suất lấy được \(1\) bi đỏ trong hộp \(B\) là \(\dfrac{{C_2^1}}{{C_4^1}} = \dfrac{1}{2}\)
Xác suất lấy được \(1\) bi đỏ trong hộp \(C\) là \(\dfrac{{C_2^1}}{{C_5^1}} = \dfrac{2}{5}\)
Xác suất để lấy được \(1\) bi đỏ là: \(\dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}} \right) = \dfrac{{17}}{{40}}\)
Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển đa thức của: \(x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\)
Đặt \(f(x) = x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\)
Ta có : \(f(x) = x\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( { - 2} \right)}^k}.{x^k}} + {x^2}\sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {\left( {3x} \right)^i}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( { - 2} \right)}^k}.{x^{k + 1}}} + \sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {3^i}.{x^{i + 2}}\)
Vậy hệ số của \({x^5}\) trong khai triển đa thức của \(f(x)\) ứng với \(k = 4\) và \(i = 3\) là: \(C_5^4{\left( { - 2} \right)^4} + C_{10}^3{.3^3} = 3320\)
Tìm hệ số cuả \({x^8}\) trong khai triển đa thức \(f(x) = {\left[ {1 + {x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^8}\)
Ta có:
\({\left[ {1 + {x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^8} = \sum\limits_{n = 0}^8 {C_8^n} {x^{2n}}{\left( {1 - x} \right)^n} \) \(= \sum\limits_{n = 0}^8 {C_8^n} \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{2n +k }}} \)
với \(0 \le k \le n \le 8\).
Số hạng chứa \({x^8}\) ứng với \(2n + k = 8 \Rightarrow k = 8 - 2n\) là một số chẵn.
Thử trực tiếp ta được \(k = 0;n = 4\) và \(k = 2,\,n = 3\).
Vậy hệ số của \({x^8}\) là \(C_8^3.C_3^2 + \,\,C_8^4.C_4^0 = 238\).
Đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 3x + 2{x^2}} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{20}}{x^{20}}\). Tìm \({a_{15}}\)
Ta có: $P\left( x \right) = {\left( {1 + 3x + 2{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {3x + 2{x^2}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(3x)^{k - i}}.{(2{x^2})^i} $ $= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {.3^{k - i}}{.2^i}{x^{k + i}}$
với \(0 \le i \le k \le 10\,\,\).
Do đó \(k + i = 15\) với các trường hợp
\(k = 10,i = 5\) hoặc \(k = 9,i = 6\) hoặc \(k = 8,i = 7\)
Vậy \({a_{15}} = C_{10}^{10}.C_{10}^5{.3^5}{.2^5} + C_{10}^9.C_9^6{.3^3}{.2^6} + C_{10}^8.C_8^7{.3.2^7}\)
Tìm hệ số không chứa \(x\) trong các khai triển sau \({\left( {{x^3} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\), biết rằng \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) với \(x > 0\)
Ta có: \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{(n - 1)!1!}} + \dfrac{{n!}}{{(n - 2)!2!}} = 78\)
\( \Leftrightarrow n + \dfrac{{n(n - 1)}}{2} = 78 \Leftrightarrow {n^2} + n - 156 = 0 \Leftrightarrow n = 12\).
Khi đó: \(f(x) = {\left( {{x^3} - \dfrac{2}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{36 - 4k}}} \)
Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(k:36 - 4k = 0 \Rightarrow k = 9\)
Số hạng không chứa \(x\) là: \({( - 2)^9}C_{12}^9 = - 112640\)
Với $n$ là số nguyên dương, gọi \({a_{3n - 3}}\) là hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({({x^2} + 1)^n}{(x + 2)^n}\). Tìm \(n\) để \({a_{3n - 3}} = 26n\)
Ta có: \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{\left( {x + 2} \right)^n} = {x^{3n}}{\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}{\left( {1 + \dfrac{2}{x}} \right)^n}\)
\( = {x^{3n}}\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}^i}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)}^k}} = } {x^{3n}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^{ - 2i}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{2^k}{x^{ - k}}} } } \right]\)
Trong khai triển trên , luỹ thừa của \(x\) là \(3n - 3\) khi
\( - 2i - k = - 3 \Leftrightarrow 2i + k = 3\).
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là \(i = 0,k = 3\) hoặc
\(i = 1,k = 1\)(vì \(i,k\) nguyên).
Hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{\left( {x + 2} \right)^n}\)
Là :\({a_{3n - 3}} = C_n^0.C_n^3{.2^3} + C_n^1.C_n^1.2\).
Do đó \({a_{3n - 3}} = 26n \Leftrightarrow \dfrac{{2n\left( {2{n^2} - 3n + 4} \right)}}{3} = 26n \Leftrightarrow n = - \dfrac{7}{2}\)hoặc$n = 5$
Vậy \(n = 5\) là giá trị cần tìm.
Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^{26}}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}\), biết \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1\)
Ta có:
\(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n + 1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}\)
Vì \(C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k}\) nên:
\( C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n - 1} + ... + C_{2n + 1}^0 = {2^{2n + 1}}\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n} \right) = {2^{2n + 1}}\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}} - C_{2n + 1}^0 = {2^{2n}} - 1\)
Do đó \({2^{2n}} - 1 = {2^{20}} - 1 \Leftrightarrow n = 10\)
Khi đó: \({\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}} = {\left( {{x^{ - 4}} + {x^7}} \right)^{10}} \) \(= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{({x^{ - 4}})}^{10 - k}}.{x^{7k}}} \) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{11k - 40}}} \)
Hệ số chứa \({x^{26}}\) ứng với giá trị \(k:\) \(11k - 40 = 26 \Rightarrow k = 6\).
Vậy hệ số chứa \({x^{26}}\) là: \(C_{10}^6 = 210\).
