Hàm số liên tục

Bước 1:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1}  - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1}  + 1}}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a.0 + 1}  + 1}} = \dfrac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 5b\end{array}\)

Bước 2:

 Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b\)

Ta có hàm số liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Ta có \(f\left( 2 \right) = \sqrt {2.2 - 4}  + 3 = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \) Hàm số xác định trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right){\rm{  (1)}}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right){\rm{  (2)}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}  = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{2 + 1}}{{{2^2} - 2m.2 + 3m + 2}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\end{array}\)

Thay \(m = 5\) vào \((1)\) ta được \({x^2} - 10x + 17 \ne 0\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\).

Vậy với $m = 5$ thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 5.\) Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) và liên tục trên đoạn đó, đồng thời \(f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0\) nhưng phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0\) có nghiệm $x =  \pm \sqrt 5  \in \left( { - 3;3} \right)$

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\).

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0\\x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0\end{array} \right.\). Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), có nghiệm \(x =  - 1\) thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) nhưng gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)\) nên không liên tục trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) .

Đáp án D đúng. Thật vậy:

+ Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0\\f\left( b \right) > 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) < 0\\f\left( b \right) < 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0\)

Vậy không có giá trị nào của $x$ để \(f\left( x \right) = 0\), hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le \dfrac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{\pi }{2}\\x <  - \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{\pi }{2}} \right) \cup \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{2}; + \infty } \right)\)

Để hàm số liên tục trên $R$ thì hàm số phải liên tục tại các điểm \(x =  \pm \dfrac{\pi }{2} \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \frac{\pi }{2}} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = a.\dfrac{\pi }{2} + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {\sin x} \right) = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1\\f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow a.\dfrac{\pi }{2} + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {\sin x} \right) =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) =  - a.\dfrac{\pi }{2} + b\\f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \dfrac{{ - \pi }}{2} =  - 1\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow  - a.\frac{\pi }{2} + b =  - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{\pi }{2} + b = 1\\ - a.\dfrac{\pi }{2} + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.\) 

Ta có \(f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 5 = 0\). Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - 5.\) Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - 5 = 2 - 5 =  - 3\\g\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) - 5 = 7 - 5 = 2\end{array} \right. \Rightarrow g\left( { - 1} \right)g\left( 4 \right) < 0.\)

Vậy phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {1;4} \right)\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 5\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {1;4} \right)\).

\(f\left( 3 \right) = 27 - 3\left( {2b + 1} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = \sqrt {x + 6}  - a\).

Ta có \(g\left( 3 \right) = 3 - a\)

Nếu \(a = 3\) thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 6}  - 3}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

Để hàm số liên tục tại $x = 3$ \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 27 - 3\left( {2b + 1} \right) = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow b = \dfrac{{35}}{9}\)

Nếu \(a \ne 3 \Leftrightarrow g\left( 3 \right) \ne 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \infty  \Rightarrow \)Hàm số không thể liên tục tại $x = 3.$

Vậy \(a = 3,b = \dfrac{{35}}{9}\) 

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 1\) là hàm đa thức có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}\left( {0;2} \right).\)

Ta có

\( \bullet \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) =  - 3\\f\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right)f\left( { - 1} \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2; - 1} \right).\)

\( \bullet \)  \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 1\\f\left( 0 \right) =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 1;0} \right).\)

\( \bullet \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 0 \right) =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right)f\left( 0 \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;2} \right).\)

Như vậy phương trình \(\left( 1 \right)\)  có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).

Tuy nhiên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có đúng \(3\) nghiệm trên \(\mathbb{R}.\)

Bước 1:

\(\begin{array}{l}f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = m + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = 3\end{array}\)

Bước 2:

\( \Rightarrow m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2\)

\(f\left( x \right) = {x^4} - 4x\) luôn liên tục trên \(\mathbb{R}\).