Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)$
Tìm $m$ để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có: $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$
Ta có \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
Khi đó
\(\forall x > 9:m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x - 3} \right).\dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} > x + 1 \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \dfrac{{x + 1}}{{4x}}\)
Ta thấy \(\dfrac{{x + 1}}{{4x}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4x}} < \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4.9}}\) với mọi \(x > 9\) hay \(\dfrac{{x + 1}}{{4x}} < \dfrac{5}{{18}}\)
Vậy \(m > \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\) với mọi \(x > 9\) .
Với các số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {a + b} \right) + ab\) là
Với các số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {a + b} \right) + ab\) là
Ta có \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 2 + 2ab\) \( \Rightarrow ab = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2}}{2} = \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - 1\).
Khi đó ta có: \(P = 3\left( {a + b} \right) + ab = 3\left( {a + b} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - 1\).
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 6\left( {a + b} \right) + 9} \right] - \dfrac{{11}}{2}\\P = \dfrac{1}{2}{\left( {a + b + 3} \right)^2} - \dfrac{{11}}{2}\end{array}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2.2 = 4\) \( \Rightarrow - 2 \le a + b \le 2\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 \le a + b + 3 \le 5\\ \Rightarrow - 5 \le \dfrac{1}{2}{\left( {a + b + 3} \right)^2} - \dfrac{{11}}{2} \le 7\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {P_{\min }} = - 5\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\a = b\\a + b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = - 1\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \( - 5\), đạt được khi \(a = b = - 1\).
Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\sqrt y \left( {y + 1} \right) - 6x - 9 = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = xy + 3y - 4{x^2} - 3\) là
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\2x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\x \ge - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
Đặt \(2x + 3 = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt y \left( {y + 1} \right) - 6x - 9 = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\\ \Leftrightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - 3\left( {2x + 3} \right) = \left( {2x + 4} \right)\sqrt {2x + 3} - 3y\\ \Rightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - 3t = \sqrt t \left( {t + 1} \right) - 3y\\ \Leftrightarrow \sqrt y \left( {y + 1} \right) - \sqrt t \left( {t + 1} \right) + 3y - 3t = 0\\ \Leftrightarrow y\sqrt y - t\sqrt t + \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right) + 3\left( {y - t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t} \right) + \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right) + 3\left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {\sqrt y + \sqrt t } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t + 1 + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt y - \sqrt t } \right)\left( {y + \sqrt {yt} + t + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt y - \sqrt t = 0\,\,\left( {do\,\,y + \sqrt {yt} + t + 5 > 0\,\,\forall y,\,\,t \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow y = t \Leftrightarrow y = 2x + 3\end{array}\)
Khi đó biểu thức \(M\) trở thành:
\(\begin{array}{l}M = x\left( {2x + 3} \right) + 3\left( {2x + 3} \right) - 4{x^2} - 3\\M = 2{x^2} + 3x + 6x + 9 - 4{x^2} - 3\\M = - 2{x^2} + 9x + 6\\M = - 2\left( {{x^2} - \dfrac{9}{2}x} \right) + 6\\M = - 2\left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{9}{4} + \dfrac{{81}}{{16}}} \right) + \dfrac{{81}}{8} + 6\\M = - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} + \dfrac{{129}}{8}\end{array}\)
Vì \( - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} \le 0\,\,\forall x\) nên \( - 2{\left( {x - \dfrac{9}{4}} \right)^2} + \dfrac{{129}}{8} \le \dfrac{{129}}{8}\).
Do đó \(M \le \dfrac{{129}}{8} \Rightarrow {M_{\max }} = \dfrac{{129}}{8}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow y = \dfrac{{15}}{2}\).
Vậy GTLN của \(M\) bằng \(\dfrac{{129}}{8}\) đạt được khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{{15}}{2}} \right)\).
Giải phương trình \({x^2} + 6x + 1 - \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 0\).
Số nghiệm của phương trình trên là:
Số nghiệm của phương trình trên là:
ĐKXĐ: \({x^2} + 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn đúng).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2x + 1\\b = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} \,\,\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right.\) ta có \(2a + {b^2} = 4x + 2 + {x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 6x + 5\)
\( \Rightarrow {x^2} + 6x + 1 = 2a + {b^2} - 4\).
Khi đó phương trình trở thành:
\(2a + {b^2} - 4 - ab = 0 \Leftrightarrow {b^2} - ab + 2a - 4 = 0\,\,\left( * \right)\)
Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn \(b\) với tham số \(a\) ta có
\(\Delta = {a^2} - 4\left( {2a - 4} \right) = {a^2} - 8a + 16 = {\left( {a - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall a\)
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{{a + a - 4}}{2} = a - 2\\b = \dfrac{{a - a + 4}}{2} = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
+) TH1: \(b = 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = 1 + 1 = 2 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\x = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\).
+) TH2: \(b = a - 2 \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 2\).
Khi đó ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 2x - 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\{x^2} + 2x + 3 = 4{x^2} - 4x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{2}\\3{x^2} - 6x - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Ta có \(\Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 2} \right) = 15 > 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt {15} }}{3}\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{3 - \sqrt {15} }}{3}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).
=> Tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 ;\dfrac{{3 + \sqrt {15} }}{3}} \right\}\).
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
