Nhân, chia các phân thức

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, nhân mẫu thức với nhau.

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{A.C}}{{B.D}}$.

Phân thức nghịch đảo của phân thức $\dfrac{x}{{x + 2}}$ là $\dfrac{{x + 2}}{x}$.

Ta có: $\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}} = \dfrac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2(4 - x)}}{{x + 4}} = \dfrac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - 2(x - 4)}}{{x + 4}} = \dfrac{{ - 3}}{2}.$.

Ta có: $3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)$$= \dfrac{{3{x^3}{y^5}.\left( { - 7z} \right)}}{{9x{y^6}}} = \dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}$.

Ta có:

$\,\dfrac{{3{x^2} - 6xy + 3{y^2}}}{{5{x^2} - 5xy + 5{y^2}}}\,\,:\,\,\dfrac{{10x - 10y}}{{{x^3} + {y^3}}}$

$= \,\,\dfrac{{3{x^2} - 6xy + 3{y^2}}}{{5{x^2} - 5xy + 5{y^2}}}\, \cdot \,\,\dfrac{{{x^3} + {y^3}}}{{10x - 10y}}$

$= \dfrac{{3({x^2} - 2xy + {y^2})}}{{5({x^2} - xy + {y^2})}} \cdot \dfrac{{(x + y)({x^2} - xy + {y^2})}}{{10(x - y)}}$

$= \dfrac{{3{{(x - y)}^2}}}{{5({x^2} - xy + {y^2})}} \cdot \dfrac{{(x + y)({x^2} - xy + {y^2})}}{{10(x - y)}} = \dfrac{{3({x^2} - {y^2})}}{{50}}.$

Ta có: $\dfrac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}\,\,:\,\,\dfrac{{x + 5}}{{x - 2}} = \dfrac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}\, \cdot \,\dfrac{{x - 2}}{{x + 5}}$ $= \dfrac{{3(x + 5)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\, \cdot \,\dfrac{{x - 2}}{{x + 5}} = \dfrac{3}{{x + 2}}.$

Ta có: $\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}}$$= \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}$$= \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}.3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}$ $= \dfrac{{x - 1}}{3}$

Vậy số cần điền là $3$.

Ta có: $\dfrac{{5x + 5y}}{{4x - 4y}}.\dfrac{{6x - 6y}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} = \dfrac{{5\left( {x + y} \right).6\left( {x - y} \right)}}{{4\left( {x - y} \right){{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \dfrac{{15}}{{2\left( {x + y} \right)}}$ nên A đúng.

* $\dfrac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{15x + 15y}}.\dfrac{{4{x^2} + 8xy + 4{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}4{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{15\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{4\left( {x - y} \right)}}{{15}}$ nên B sai.

* $\dfrac{{{x^2}y + x{y^2}}}{{2x - 2y}}.\dfrac{{15x - 15y}}{{{x^3}y + 2{x^2}{y^2} + x{y^3}}}$$= \dfrac{{xy\left( {x + y} \right).15\left( {x - y} \right)}}{{2\left( {x - y} \right)xy{{\left( {x + y} \right)}^2}}}$  $= \dfrac{{15}}{{2\left( {x + y} \right)}}$ nên C đúng.

Vậy cả A, C đều đúng.

Ta có: $\dfrac{{5{x^2} - 20{y^2}}}{{3x + 6y}}:\dfrac{{5x - 10y}}{{9x}}$$= \dfrac{{5\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)}}{{3\left( {x + 2y} \right)}}.\dfrac{{9x}}{{5\left( {x - 2y} \right)}}$ $= \dfrac{{5\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right).9x}}{{3\left( {x + 2y} \right)5\left( {x - 2y} \right)}} = 15x$ nên A sai.

* $\dfrac{{45x - 90y}}{{3x + 6y}}:\dfrac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}$ $= \dfrac{{45\left( {x - 2y} \right)}}{{3\left( {x + 2y} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}$ $= \dfrac{{45\left( {x - 2y} \right){{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{3{{\left( {x + 2y} \right)}^2}\left( {x - 2y} \right)}} = 15$ nên B sai.

* $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{2y}}:\left( {y - x} \right) = \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{2y}}.\dfrac{1}{{y - x}}$$= \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{2y}}.\dfrac{{ - 1}}{{x - y}} = \dfrac{{ - x - y}}{{2y}}$ nên C sai.

Ta có: $\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}$

$= \dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.$

Vậy các đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở  tử và mẫu lần lượt là $6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$.

Ta có: $P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}} = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - \left( {2 - x} \right)}}{{(x + 2)(2 - x)}} = \dfrac{{ - 1}}{{2 - x}} = \dfrac{1}{{x - 2}}$.

Ta có: $A = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}$.

$= \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}} \right)$$= \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3{x^2} - 3x + 3 + 3x}}{{{x^2} - 36}}$$= \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3{x^2} + 3}}{{(x - 6)(x + 6)}}$$= \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3({x^2} + 1)}}{{(x - 6)(x + 6)}} = \dfrac{3}{{x + 6}}.$

Thay $x = 994$ vào $A = \dfrac{3}{{x + 6}}$ ta được $A = \dfrac{3}{{994 + 6}} = \dfrac{3}{{1000}}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{3x}}:\dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}:\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}:\dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{3x}} \cdot \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{{x^2} + x}}{{{x^3} - 1}} \cdot \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\\ = \dfrac{{x - 1}}{{3x}} \cdot \dfrac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} \cdot \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\\ = \dfrac{{x + 1}}{{3({x^2} + x + 1)}} \cdot \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \dfrac{1}{{3(x + 1)}}.\end{array}$

Và

$\begin{array}{l}B = \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\dfrac{{x + 4}}{{{x^2} + 6x}} - \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\dfrac{{x + 4}}{{x - 4}}\\ = \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \dfrac{{{x^2} + 6x}}{{x + 4}} - \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \dfrac{{x - 4}}{{x + 4}}\\ = \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \left( {\dfrac{{{x^2} + 6x}}{{x + 4}} - \dfrac{{x - 4}}{{x + 4}}} \right)\\ = \dfrac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \dfrac{{{x^2} + 6x - x + 4}}{{x + 4}}\\ = \dfrac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{x + 4}}\\ = \dfrac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \dfrac{{(x + 1)(x + 4)}}{{x + 4}} = \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}}.\end{array}$

Thay $x = 101$ vào $A = \dfrac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}}$  ta được $A = \dfrac{1}{{3\left( {101 + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{3.102}} = \dfrac{1}{{306}}$

Thay $x = 101$ vào $B = \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}}$  ta được $B = \dfrac{{101 + 3}}{{101 - 1}} = \dfrac{{104}}{{100}}$

Nhận thấy $B = \dfrac{{104}}{{100}} > 1;\,A = \dfrac{1}{{306}} < 1 \Rightarrow B > A$

Ta có:

$\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}$.

$\Rightarrow Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}:\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}} \cdot \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{5x}}$$= \dfrac{x}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \dfrac{{{{(x + 1)}^2}}}{{5x}} = \dfrac{{x + 1}}{{5(x - 1)}}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{x + 2y}}{{{x^3} - 8{y^3}}}\, \cdot \,M = \dfrac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}\\M = \dfrac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}:\dfrac{{x + 2y}}{{{x^3} - 8{y^3}}}\\M = \dfrac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \dfrac{{{x^3} - 8{y^3}}}{{x + 2y}}\\M = \dfrac{{5x(x + 2y)}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \dfrac{{(x - 2y)({x^2} + 2xy + 4{y^2})}}{{x + 2y}}\\M = 5x(x - 2y).\end{array}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\dfrac{{{x^2} + xy - 2{y^2}}}{{{x^4} - {y^4}}}\, \cdot \,M = \dfrac{{x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}}\\M = \dfrac{{x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}}:\dfrac{{{x^2} + xy - 2{y^2}}}{{{x^4} - {y^4}}}\\M = \dfrac{{x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} \cdot \dfrac{{{x^4} - {y^4}}}{{{x^2} + xy - 2{y^2}}}\\M = \dfrac{{x + y}}{{{x^2}(x + y) + {y^2}(x + y)}} \cdot \dfrac{{({x^2} - {y^2})({x^2} + {y^2})}}{{{x^2} + 2xy - xy - 2{y^2}}}\end{array}$.                      

$\begin{array}{l}M = \dfrac{{x + y}}{{(x + y)({x^2} + {y^2})}} \cdot \dfrac{{(x - y)(x + y)({x^2} + {y^2})}}{{{x^2} + 2xy - xy - 2{y^2}}}\\M = \dfrac{{x + y}}{{(x + y)({x^2} + {y^2})}} \cdot \dfrac{{(x - y)(x + y)({x^2} + {y^2})}}{{x(x + 2y) - y(x + 2y)}}\\M = \dfrac{{x + y}}{{(x + y)({x^2} + {y^2})}} \cdot \dfrac{{(x - y)(x + y)({x^2} + {y^2})}}{{(x + 2y)(x - y)}}\\M = \dfrac{{x + y}}{{x + 2y}}.\end{array}$.

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{A.C}}{{B.D}}$

Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ $\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)$ , ta nhân $\dfrac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\dfrac{C}{D}$ .

Hai phân thức gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của nó bằng $1$ .

Nên $\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1$, do đó A đúng.

Tính chất phép nhân phân thức

+ Giao hoán: $\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}$  nên B đúng.

+ Kết hợp: $\left( {\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}} \right).\dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right)$ nên C đúng

+ Phân phối đối với phép cộng: $\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{F}$ nên D sai.

Ta có  $\dfrac{{10{x^3}}}{{11{y^2}}}.\dfrac{{121{y^5}}}{{25x}}$$= \dfrac{{10{x^3}.121.{y^5}}}{{11{y^2}.25x}} = \dfrac{{{{2.5.11}^2}{x^3}{y^5}}}{{{{11.5}^2}x{y^2}}} = \dfrac{{22{x^2}{y^3}}}{5}$ .