Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Khoảng cách giữa (AB′C) và (A′DC′) bằng:
Ta có: {A′C′//ACDC′//AB′⇒(A′C′D)//(ACB′)
Gọi O′ là tâm của hình vuông A′B′C′D′.
Ta có d((AB′C),(A′DC′))=d(B′,(A′DC′))=d(D′,(A′DC′))
Gọi I là hình chiếu của D′ trên O′D.
Vì D′O′⊥A′C′,DO′⊥A′C′ nên A′C′⊥(DOD′)⇒A′C′⊥D′I.
Mà D′I⊥DO′ nên I là hình chiếu của D′ trên (A′DC′).
⇒d((AB′C),(A′DC′))=d(D′,(A′DC′))=D′I=D′O′.D′D√D′O′2+D′D2=a√22.a√(a√22)2+a2=a√33.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB=4,AD=3. Mặt phẳng (ACD′) tạo với mặt đáy một góc 60∘. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
Gọi O là hình chiếu của D lên AC.
Ta có {(ACD′)∩(ABCD)=ACAC⊥DOAC⊥D′O(AC⊥(ODD′)⊃OD′)
⇒(^(D′AC),(ABCD))=^D′OD=600
AC=√32+42=5 ; DO=AD.DCAC=125
Khoảng cách giữa hai mặt đáy là DD′=DO.tan600=12√35
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB′D′) bằng
Gọi O,O′ lần lượt là tâm hai đáy ABCD,A′B′C′D′ .
Vì BD//B′D′ nên BD//(CB′D′).
Do đó d(BD,(CB′D′))=d(O,(CB′D′))=12d(A,(CB′D′))
Mà AO∩(CB′D′)=C⇒d(O,(CB′D′))=12d(A,(CB′D′))
Vậy d(BD,(CB′D′))=12d(A,(CB′D′))
Ta tính d(A,(CB′D′)).
Xét tứ diện ACB′D′ có AB′=AC=AD′=B′C=B′D′=CD′=a√2 nên nó là tứ diện đều cạnh a√2.
Gọi G là trọng tâm tam giác CB′D′ thì CG=23CO′=23.a√2.√32=a√63
Do đó d(A,(CB′D′))=AG=√AC2−CG2=√2a2−6a29=2a√33
Vậy d(BD;(CB′D′))=12d(A,(CB′D′))=a√33.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB=2a,SA=a√5. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng
Gọi I=AC∩BD.
AB=2a⇒AI=a√2
⇒SI=√SA2−AI2=√(a√S)2−(a√2)2=a√3
Do AB//CD⇒d(AB;SCD)=d(;SCD)=2d(;SCD)
Kẻ IH⊥CD;IK⊥SH=d(A;SCD)=IK
1IK2=1SI2+1IH2⇒IN=a√32
⇒d(AB;SCD)=a√3
